Арифметична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Арифметична функціяфункція, визначена на множині натуральних чисел , що приймає значення в множині комплексних чисел .

Визначення[ред.ред. код]

Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція

Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій натурального аргументу , які виражають ті або інші арифметичні властивості . Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію , яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа (див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.

Операції і зв'язані поняття[ред.ред. код]

  • Сумою арифметичної функції називають функцію , визначену як

Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на , її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).

  • Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом

При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца

Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.

Відомі арифметичні функції[ред.ред. код]

Кількість дільників[ред.ред. код]

Арифметична функція визначається як число додатнних дільників натурального числа :

Якщо і взаємно прості, то кожен дільник добутку може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників і , і навпаки, кожне такий добуток є дільником . Звідси випливає, що функція мультиплікативна:

Якщо розклад на прості множники натурального числа , то зважаючи на мультиплікативність

Але додатними дільниками числа є чисел .

Відповідно

Сума дільників[ред.ред. код]

Функція визначається як сума дільників натурального числа :

Узагальнюючи функції і для довільного, взагалі кажучи комплексного можна визначити — суму -их степенів додатних дільників натурального числа :

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати

Функція мультиплікативна:

Якщо — розклад на прості дільники натурального числа , то

Функція Ейлера[ред.ред. код]

Докладніше: Функція Ейлера

Функція Ейлера , визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за , і є взаємно простими з .

Користуючись нотацією Айверсона можна записати:

Функція Ейлера мультиплікативна:

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

де — різні прості дільники .

Функція Мебіуса[ред.ред. код]

Докладніше: Функція Мебіуса

Функцію Мебіуса можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості:

Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа рівна нулю, якщо , і рівна , якщо .

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:

Тут — різні прості числа — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса рівна , якщо не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників ).

Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]