Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин

Нехай $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N_{1}} (\mathbb {E} X)$ і $Y_{1},\ldots ,Y_{n}\sim \mathrm {N_{2}} (\mathbb {E} Y)$ — незалежні вибірки з нормальних розподілів, де $\mathbb {E} X$ і $\mathbb {E} Y$ — відомі середні. Означемо довільне $\alpha \in [0,1]$ і побудуємо $\alpha$-довірчий інтервал для невідомої коваріації $\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$.

Твердження. Випадкова величина

$H={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}={\frac {\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}=1$

має розподіл $\chi ^{2}(n)$. Нехай $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ — $\alpha$-процентіль цього розподілу. Тоді маємо:

$\mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}\leq H\leq \chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}\right)=\alpha$.

Після підстановки виразу для $H$ і неважких алгебраїчних перетворень отримуємо:

$\mathbb {P} \left({\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}}}\leq \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\leq {\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=\alpha$.