Коваріація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Коваріація (англ. Covariance) — в теорії ймовірностей та математичній статистиці, числова характеристика залежності випадкових величин. Сутність коваріації полягає в тому, що вона виникає внаслідок невизначеності результату перемножування двох сукупностей чисел[1].

Визначення[ред.ред. код]

Коваріація двох випадкових величин X,Y\, позначається як \operatorname{Cov}(X,Y) і виглядає так:[2]

\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}[(X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y})] = \operatorname{E}(XY) - \mu_{X} \mu_{Y}= \mu_{XY} - \mu_{X} \mu_{Y},

де

\operatorname{E} — оператор математичного сподівання
\mu_{X}\, — середнє значення величини X\,
\mu_{Y}\, — середнє значення величини Y\,
\operatorname{E}(XY) — математичне сподівання добутку величин X,Y\,
\mu_{XY}\, — це середнє значення добутку цих величин.

Це визначення має сенс за умови скінченності дисперсій випадкових величин.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо X,Y\, — незалежні, то їх коваріація дорівнює нулю. Зворотне твердження не вірне.[2]

Якщо X, Y, W, і V — дійснозначні випадкові величини і a, b, c, d — константи (тут слово «константа» вжито у значенні невипадкова величина), тоді наступні правила є простими наслідками означення коваріації:

\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,
\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\ = \operatorname{D} (X), (дисперсія)
\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,
\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,

Приклад[ред.ред. код]

Припустимо, що X і Y мають такий спільний розподіл:

f(x,y) 1 2 3 f_{X}(x)
1 0.25 0.25 0 0.5
2 0 0.25 0.25 0.5
f_{Y}(y) 0.25 0.5 0.25 1

Отже, \mu_X = \frac{3}{2}, \mu_Y = 2, \sigma_X = \frac{1}{2}, \sigma_Y = \sqrt{\frac{1}{2}}.

Cov(X, Y) = \sigma_{XY} = \Sigma_{(x, y) \in S}(x-\mu_X)(y-\mu_Y)f(x,y) = \frac{1}{8} + 0 + 0 + 0 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]



Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.