Коваріація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Коваріація (англ. Covariance) — в теорії ймовірностей та математичній статистиці, числова характеристика залежності випадкових величин. Сутність коваріації полягає в тому, що вона виникає внаслідок невизначеності результату перемножування двох сукупностей чисел[1].

Визначення[ред.ред. код]

Коваріація двох випадкових величин позначається як і виглядає так:[2]

де

 — оператор математичного сподівання
 — середнє значення величини
 — середнє значення величини
 — математичне сподівання добутку величин
 — це середнє значення добутку цих величин.

Це визначення має сенс за умови скінченності дисперсій випадкових величин.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо  — незалежні, то їх коваріація дорівнює нулю. Зворотне твердження не вірне.[2]

Якщо X, Y, W, і V — дійснозначні випадкові величини і a, b, c, d — константи (тут слово «константа» вжито у значенні невипадкова величина), тоді наступні правила є простими наслідками означення коваріації:

(дисперсія)

Приклад[ред.ред. код]

Припустимо, що і мають такий спільний розподіл[3]:

y
f(x,y) 1 2 3 fX(x)
1 0.25 0.25 0 0.5
x 2 0 0.25 0.25 0.5
fY(y) 0.25 0.5 0.25 1

Отже,

Інтерпретація[ред.ред. код]

Якщо коваріація додатна, то це означай, що друга випадкова величина має тенденцію до зростання разом з першою. Негативна - навпаки, що при зростанні однієї випадкової величини інша спадає. Тобто і в одному і в другому випадку можлива залежність між величинами. Якщо коваріація нульова, то величини незалежні. Проте коваріацію важко використовувати як міру залежності однієї величини від іншої, оскільки її масштаб залежить від дисперсій порівнюваних величин. Тому на практиці коваріацію нормують ділячи на добуток середньоквадратичних відхилень(корінь з дисперсії). Таким чином отримуване число лежить в межах [-1;1] і називається коефіцієнтом кореляції Пірсона:

, де середньоквадратичне відхилення.

Відповідно,

.

Чим більший коефіцієнт кореляції по модулю тим більше одна величина залежить від іншої. Переважно вважається, що при коефіцієнті кореляції більше 0,9 або ж менше -0,9, то існує доволі сильна кореляції між величинами. Знак кореляції вказує на те чи величини одночасно зростають чи мають обернену залежність.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]



Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.