Норма матриці

У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай у просторі векторів $\mathbb {R} ^{m}$ визначена норма вектора $\|\cdot \|$. Тоді нормою матриці $A$ називають число $\|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}$.

Прямі вирази

У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

1. $\|x\|_{\infty }=\max _{1\leq j\leq m}\left|x_{j}\right|$. Тоді
   $\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\left(\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|\right)$
2. $\|x\|_{1}=\sum _{j=1}^{m}\left|x_{j}\right|$. Тоді
   $\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq m}\left(\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\right)$
3. $\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}{\left|x_{j}\right|}^{2}}}={\sqrt {(x,x)}}$. Тоді
   $\|A\|_{2}={\sqrt {\max _{1\leq i\leq m}\lambda _{A^{T}\cdot A}^{i}}}$,
   де $\lambda _{D}^{i}$ — власні значення матриці $D$.

Векторні норми

Матрицю розмірності $m\times n$ можна трактувати як вектор довжини $mn$ і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса

Виглядає так:

$\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}$

Властивості норми матриці

Хай $K$ позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай $K^{m\times n}$ позначає векторний простір, що містить всі матриці з $m$ рядків та $n$ стовпців з елементами типу $K$.

Якщо $\|A\|$ позначає норму матриці $A$, тоді для неї виконуються такі властивості:

• $\|A\|>0$ якщо $A\neq 0$ та $\|A\|=0$ тоді і тільки тоді, коли $A=0$
• $\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|,\qquad \forall \alpha \in K$ та $\forall A\in K^{m\times n}$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\qquad \forall A,B\in K^{m\times n}.$

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

• $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ для всіх $A$ та $B$ з $K^{n\times n}.$

Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Узгоджені норми

Матрична норма $\|\cdot \|$ на $K^{m\times n}$ називається узгодженою (англ. consistent) з векторними нормами $\|\cdot \|_{a}$ і $\|\cdot \|_{b}$ на $K^{n}$ і $K^{m}$ відповідно, якщо:

$\|Ax\|_{b}\leq \|A\|\|x\|_{a}$

для всіх $A\in K^{m\times n},x\in K^{n}$. Усі індуковані норми узгодженні за означенням.

Сумісні норми

Матрична норма $\|\cdot \|$ на $K^{n\times n}$ називається сумісною (англ. compatible) з векторною нормою $\|\cdot \|_{a}$ на $K^{n},$ якщо:

$\|Ax\|_{a}\leq \|A\|\|x\|_{a}$

для всіх $A\in K^{n\times n},x\in K^{n}$. Індукована норма сумісна за означенням.

Посилання

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.