Теорема Слуцького

Теоре́ма Слу́цького — твердження в теорії ймовірностей про деякі алгебраїчні властивості збіжності за розподілом випадкових величин. Названа на честь економіста і математика Євгена Слуцького. Іноді також називається теоремою Крамера.

Формулювання

Нехай заданий ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, і $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N}$ — випадкові величини. Тоді якщо

$X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$,

де $X:\Omega \to \mathbb {R}$ — випадкова величина, і

$Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c$,

де $c\in \mathbb {R}$ — деяка константа, то

• $X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c$
• $X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X$.

Якщо також $c\neq 0$ то:

• $Y_{n}^{-1}X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c^{-1}X$

Узагальнення

При тих же умовах на послідовності випадкових величин $X_{n},Y_{m}$ для неперервної функції $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ виконується рівність:

$f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)$.

Див. також

• Збіжність випадкових величин
• Збіжність за ймовірністю;
• Збіжність за розподілом.

Література

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X