Теорема Слуцького

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Слу́цького — твердження в теорії ймовірностей про деякі алгебраїчні властивості збіжності за розподілом випадкових величин. Названа на честь українського економіста і математика Євгена Слуцького[1]. Іноді також називається теоремою Крамера.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай заданий ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), і X_n,Y_m: \Omega \to \mathbb{R},\, n,m\in \mathbb{N}випадкові величини. Тоді якщо

X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X,

де X:\Omega \to \mathbb{R} — випадкова величина, і

Y_m \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} c,

де c \in \mathbb{R} — деяка константа, то

  • X_n + Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X + c
  • X_n \cdot Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} c \cdot X.

Якщо також c \neq 0 то:

  • Y_n^{-1}X_n \ \xrightarrow{d}\ c^{-1}X

Узагальнення[ред.ред. код]

При тих же умовах на послідовності випадкових величин X_n,Y_m для неперервної функції f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} виконується рівність:

f(X_n,Y_n) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} f(X,c).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Slutsky E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte // Metron. — 5 (1925) (3) С. 3–89.

Література[ред.ред. код]

  • Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X