Збіжність за розподілом

Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.

Визначення

Нехай дано ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ і на ньому визначені випадкові величини $X,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m},\,n=1,2,\ldots$. Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на $\mathbb {R} ^{m}$, що називається розподілом.

Випадкові величини $X_{n}$ збігаються за розподілом до випадкової величини $X$, якщо розподіли $\mathbb {P} ^{X_{n}}$ слабко збігаються до розподілу $\mathbb {P} ^{X}$, тобто

$\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)$

для будь-якої борелевої функції $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$.

Зауваження

• Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так:

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)$.

• Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.

Властивості збіжності за розподілом

• Випадкові величини $X_{n}$ збігаються за розподілом до $X$, якщо їх функції розподілу $F_{X_{n}}$ збігаються до функції розподілу границі $F_{X}$ у всіх точках неперервності останньої:

$F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то $X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$ тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності:

$\lim \limits _{n\to \infty }p_{X_{n}}(x)=p_{X}(x)$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються:

$\lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)$ майже скрізь, то $X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$. Обернене, взагалі кажучи, невірно!

• Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в $L^{p}$) випливає збіжність за розподілом:

$X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$.

Обернене, взагалі кажучи, невірно.

Див. також

• Теорема Слуцького

Література

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.