Алгебрична функція

Алгебраїчна функція, також алгебрична функція — функція, що задовольняє алгебраїчне рівняння.

Визначення і приклади

Загалом, функція кількох змінних $u=f(x,y,z,\dots )$ зветься алгебраїчною в точці (x₀, y₀, z₀, ..), якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівняння вигляду:

$P_{0}(x,y,z,\dots )u^{n}+P_{1}(x,y,z,\dots )u^{n-1}+\dots +P_{n}(x,y,z,\dots )=0\,$,

де $P_{0},P_{1},\dots ,P_{n}\,$ це многочлени відносно x, y, z.

Наприклад, функція дійсної змінної $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ є алгебраїчною на інтервалі $(-1,1)$ в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

$\,\!F^{2}+x^{2}=1.$

Існує аналітичне продовження функції $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ на комплексну площину, з вирізаним відрізком $[-1,1]$ або з двома вирізаними променями $(-\infty ,-1]$ і $[1,\infty )$. У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Алгебраїчні рівняння

Рівняння виду

$\,\!P(x_{1},\ldots ,x_{n})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

де P і Q многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Див. також

• Арифметична функція
• Раціональні функції
• Аналітичні функції
• Трансцендентні функції

Джерела інформації

• Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.