Спряжений оператор

Спря́жений оператор — одне з важливих понять в функціональному аналізі.

Означення

Нехай  $A:E_{1}\to E_{2}$ — лінійний неперервний оператор, що відображає нормований простір $E_{1}$ в нормований простір $E_{2}$. Тоді спряженим оператором оператору $A$ називається таке відображення $A^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ спряжених просторів, що діє згідно з правилом:

$(A^{*}f)(x)=f(Ax)(\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).$

Рівності можна надати більш виразної форми, якщо значення $\phi (x)$ функціонала $\phi \in E^{*}$ на елементі $x\in E$ записувати у вигляді $\left\langle x,\phi \right\rangle$. Тоді спряжений оператор $A^{*}$ визначається рівністю

$\left\langle x,A^{*}f\right\rangle =\left\langle Ax,f\right\rangle (\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).$

Гільбертів простір

Відмітимо, що, згідно з теоремою Ріса про загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу, заданого на гільбертовому просторі $H$, оператор $A^{*}:H\to H$, спряжений до лінійного неперервного оператора $A:H\to H$, визначається за допомогою рівності

$(x,A^{*}y)=(Ax,y)(\forall x,y\in H),$

що збігається в такому випадку з рівністю, якою визначається спряжений оператор.

В гільбертовому просторі найбільш цікавими є ті оператори, що рівні своїм спряженим: $A^{*}=A$, так звані самоспряжені оператори. Таким чином, оператор $A\in {\mathcal {L}}(H)$ називається самоспряженим, якщо $(Ax,y)=(x,Ay)$ для довільних елементів $x$ і $y$ гільбертового простору $H$. Для самоспряженого оператора $A:H\to H$ справедлива рівність $\lVert A\rVert =\sup _{\lVert x\rVert \leq 1}|(Ax,x)|$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)