Нерівність Шура

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа та довільних невід'ємних дійсних чисел справджується наступна нерівність:

причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або або два з чисел рівні між собою, а третє є нулем.

Найбільш вживаним та відомим є випадок при , коли дана нерівність набуває вигляду

Доведення

Оскільки нерівність симетрична відносно змінних , то без обмеження загальності, вважатимемо . Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:

яка виконується з огляду на те, що . Також, очевидно що рівність можлива лиш при або та . Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або або два з чисел рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.

Узагальнення

Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел та невід'ємних дійсних :

яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:

  • та
  • та
  • та
  • та
  • та
  • та
  • - сторони деякого трикутника
  • - квадрати сторін деякого трикутника
  • - сторони деякого трикутника
  • - квадрати сторін деякого трикутника
  • Існує опукла функція або монотонна , де - це інтервал, що містить числа , , , причому , ,

В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:

Якщо , причому та або чи і та є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:

Неважко переконатись, що при ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.

Див. також

Посилання

  1. https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf
  2. http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality
  3. http://www.imomath.com/index.php?options=596