Нерівність Шура

В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа $t$ та довільних невід'ємних дійсних чисел $x,y,z$ справджується наступна нерівність:

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0$

причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або $x=y=z$ або два з чисел $x,y,z$ рівні між собою, а третє є нулем.

Найбільш вживаним та відомим є випадок при $t=1$ , коли дана нерівність набуває вигляду

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y$

Доведення

Оскільки нерівність симетрична відносно змінних $x,y,z$ , то без обмеження загальності, вважатимемо $x\geqslant y\geqslant z$ . Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0$

яка виконується з огляду на те, що $x^{t}(x-z)\geqslant x^{t}(y-z)\geqslant y^{t}(y-z)$ . Також, очевидно що рівність можлива лиш при $x=y=z$ або $x=y$ та $z=0$ . Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або $x=y=z$ або два з чисел $x,y,z$ рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.

Узагальнення

Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел $x,y,z$ та невід'ємних дійсних $a,b,c$ :

$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geqslant 0$

яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:

$x\geqslant y\geqslant z$ та $a\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ та $c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ та $a+c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ та $ax\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ та $cz\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ та $ax+cz\geqslant by$
$a,b,c$ - сторони деякого трикутника
$a,b,c$ - квадрати сторін деякого трикутника
$ax,by,cz$ - сторони деякого трикутника
$ax,by,cz$ - квадрати сторін деякого трикутника
Існує опукла функція або монотонна $f:I\longrightarrow R^{+}$ , де $I$ - це інтервал, що містить числа $x$ , $y$ , $z$ , причому $a=f(x)$ , $b=f(y)$ , $c=f(z)$

В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:

Якщо $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$ , причому $a\geqslant b\geqslant c$ та або $x\geqslant y\geqslant z$ чи $z\geqslant y\geqslant x$ і $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ та $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність: