Нерівність трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нерівність трикутника — одна з інтуїтивних властивостей відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Вона стверджує, що довжина сторони трикутника не більше суми двох інших сторін цього трикутника.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометрія[ред.ред. код]

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення присутнє ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику \ \Delta ABC: \;\; |AC| \leqslant |AB|+|BC|, причому рівність \ |AC| = |AB|+|BC| досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка B лежить строго між A та C або в даному трикутнику два прямих кути.

Нормований простір[ред.ред. код]

Якщо (V,\|\cdot\|)нормований векторний простір, де V — довільна множина, а \|\cdot\| — визначена на V норма. Тоді за визначенням норми:

\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in V.

Метричний простір[ред.ред. код]

Якщо \ (X,\rho)метричний простір, де X — довільна множина, а \ \rho — визначена на X метрика. Тоді за визначенням метрики:

\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.

Обернена нерівність трикутника[ред.ред. код]

Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

  • \bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in V;
  • | \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.

Джерела[ред.ред. код]

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.