Версія від 07:51, 3 лютого 2021, створена Леонід Олійник(обговорення | внесок)(Виправлено мовленнєві помилки, додано, змінено шаблони, змінено "tan" на "tg" і "csc" на "cosec")
Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка (англ.tangent half-angle substitution) — підстановка використовна для віднайдення первісної та визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.
Почавши з задачі знаходження первісної раціональної функції від синуса і косинуса і замінивши , і диференціал відповідно раціональними функціями від змінної та добутком функції від з диференціалом , отже,[1]
У першому рядку проводять не просто підстановку для обох границь інтегрування. Тут необхідно взяти до уваги особливу точку (у цьому випадку, вертикальну асимптоту) в .
Підстановка тангенса півкута параметризує одиничне коло з центром у . Замість і , ми маємо лише , на обох кінцях дійсної лінії. Це часто допустимо коли працюєш з дійсними та з тригонометричними функціями (це одноточкова компактифікація лінії.
Тоді як x змінюється, точка, раз за разом проходить одиничне коло з центром у . Точка
тільки один раз проходить коло у міру того як рухається від до , і ніколи не досягає точки , до якої наближається як до границі коли наближається до . Коли рухається між і , точка визначена від покриває частину кола в третьому квадранті, від до .
Ось інша геометрична точка зору. Намалюємо одиничне коло, і нехай P буде точкою . Лінія через (окрім вертикальної лінії) визначена її нахилом. Далі більше, кожна така лінія (окрім вертикальної) перетинає коло саме у двох точках, одна з яких . Це визначає функцію від точки на колі в нахил. Тригонометричні функції визначають функцію від кута в точку на одиничному колі, тепер, сполучаючи ці дві функції, ми маємо функцію від кута в нахил.