Первісна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Первісними для функції f(x)=2x є функції вигляду x²+C, де C — довільна стала

Пе́рвісною для функції f(x) називається така функція, похідна якої дорівнює f(x).

Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f'(x) будуть функції f(x) + C, де CR — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція f(x)). І навпаки, похідною від первісної для функції f(x) буде сама функція f(x).

Формальне означення та властивості первісної[ред.ред. код]

Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).

Означення. Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної вісі,

якщо f(x) = F'(x) для всіх xJ.

Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді

  • функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
  • функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
  • будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.
Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).

Не всі функції мають первісну.

Приклад. Функція
f(x) = \mathop{\mathrm{sign}}\, x = 
\begin{cases}
-1, & x < 0,\\
0, & x = 0,\\
1, & x > 0,
\end{cases}

не має первісної на відрізку [−1, 1].[1]

Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.[2]

Методи знаходження первісної[ред.ред. код]

Докладніше у статті Методи інтегрування

Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме

Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Доведення див. в § 5.1.1 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.
  2. Доведення див. в п. 183 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа в 2 т. / Под ред. Головиной Л. И. — Москва : Наука, 196. — 1968. — Т. 1.

Література[ред.ред. код]

  • Г. М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Наука. 

Посилання[ред.ред. код]