Теорема уніформізації

Теорема про уніформізацію — узагальнення теореми Рімана про відображення на двовимірні ріманові многовиди. Можна сказати, що теорема дає найкращу метрику в даному конформному класі.

Формулювання

Будь-яка однозв'язна ріманова поверхня конформно еквівалентна сфері Рімана ${\widehat {\mathbb {C} }}$, комплексній площині $\mathbb {C}$ або відкритому одиничному диску $\mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C} :|z|<1\,\}$.

Наслідки

• Будь-яка ріманова метрика на зв'язному двовимірному многовиді конформно еквівалентна повній метриці зі сталою кривиною.
  • Якщо многовид замкнутий, то знак кривини можна знайти за його ейлеровою характеристикою:
    • якщо ейлерова характеристика додатна, то многовид конформно еквівалентний сфері або проєктивній площині з канонічною метрикою;
    • якщо ейлерова характеристика дорівнює нулю, то многовид конформно еквівалентний плоскому тору або плоскій пляшці Кляйна. При цьому тор і пляшка Кляйна мають 2-параметричне сімейство плоских метрик, які не конформно еквівалентні одно одній.
    • Якщо ейлерова характеристика від'ємна, то многовид конформно еквівалентний гіперболічній поверхні.

Варіації та узагальнення

Теорему геометризації можна розглядати як узагальнення теореми про уніформізацію на тривимірні многовиди.

Література

• Abikoff, William. The uniformization theorem // Amer. Math. Monthly. — 1981. — Vol. 88, no. 8 (3 November). — P. 574–592.