Стрілка Зоргенфрея

На множині $\mathbb {R}$ усіх дійсних чисел множини $\beta =\{[a,b),\ a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b\}$ утворюють базу топології $\tau$ на $\mathbb {R}$. Топологічний простір $(\mathbb {R} ,\tau )$ називається стрілкою Зоргенфрея.

Властивості

• τ сильніша за евклідову топологію на $\mathbb {R}$.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ цілком нормальний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ задовольняє першу, але не задовольняє другу аксіому зліченності.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ сепарабельний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ не метризовний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ ліндельофів.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ не $\sigma$-компактний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ не локально компактний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ нульвимірний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ цілком відокремлений.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ цілком незв'язний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ не екстремально незв'язний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ не розсіяний.
• $(\mathbb {R} ,\tau )$ є метакомпактним і навіть паракомпактним простором.

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446