Нульвимірний простір

Нульви́мірний про́стір в сенсі ind — топологічний простір, що володіє базисом з множин одночасно відкритих і замкнутих в ньому.

Варіації

Іноді нульвимірність простору розуміється вужче.

• Простір називається нульвимірним в сенсі dim, якщо у будь-яке його скінченне відкрите покриття можна вписати відкрите покриття, елементи якого не перетинаються (тобто має нульову розмірність Лебега).
• Простір називається нульвимірним в сенсі Ind, якщо будь-який окіл будь-якої його замкнутої підмножини містить відкрито-замкнутий окіл цієї підмножини.

Властивості

• Кожен дискретний простір нульвимірний, проте нульвимірний простір може не мати ізольованих точок (приклад — простір раціональних чисел $\mathbb {Q}$).
• Всі нульвимірні простори цілком регулярні.
• Нульвимірність простору успадковується його підпросторами і веде за собою сильну незв'язність простору: єдиними зв'язними множинами в нульвимірному просторі є одноточкова і порожня. Однак остання властивість, що називається цілком незв'язністю, не рівнозначна нульвимірності. Існують ненульвимірні простори, в яких кожна точка може бути представлена у вигляді перетину деякого сімейства відкрито-замкнених множин, але серед таких просторів немає компактних.
• У класі $T_{1}$-просторів нульвимірність в сенсі ind випливає як з нульвимірності в сенсі dim, так і з нульвимірності в сенсі Ind.
• У класі метризовних просторів із зліченним базисом, а також у класі компактів зазначені три визначення нульвимірності рівносильні.
• Для всіх метризовних просторів нульвимірність в сенсі dim рівносильна нульвимірності в сенсі Ind, проте відомий приклад нульвимірного в сенсі ind метризованого простору, яке не нульвимірно в сенсі Ind.
• Ні нульвимірність в сенсі dim, ні нульвимірність в сенсі Ind не успадковується, взагалі кажучи, підпросторами.
• Серед $T_{1}$-просторів нульвимірні простори в сенсі ind характеризуються з точністю до гомеоморфізму як підпростори узагальнених канторових дисконтинуумів, тобто добутків двокрапок.
• Будь-які цілком регулярні простори можна отримати як образи нульвимірних просторів при досить хороших відображеннях, наприклад, при ідеальних відображеннях і при неперервних відкритих відображеннях з компактними прообразами точок.
• Однак неперервні відображення, відкриті та замкнуті одночасно, зберігають нульвимірність в сенсі ind і в сенсі Ind.

Література

• Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.