Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:
|
|
|
|
|
|
|
(Тут
— нескінченно мала величина, а
— нескінченно велика величина)
за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.
Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.
Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів
,
,
користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.
![{\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528f5f1f2c3cca2999bc8e16fcefab101978687e)
![{\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d421e66191cd3a528e77701b6e404815653b187)
![{\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef37b15bd130ab75a6ff06e5e51ac044a9ce220)
Для розкриття невизначеностей типу
використовують такий алгоритм:
- Виявлення старшого степеня змінної;
- Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.
Для розкриття невизначеностей типу
існує такий алгоритм:
- Розкладання на множники чисельника і знаменника;
- Скорочення дробу.
Для розкриття невизначеностей типу
іноді зручно застосувати таке перетворення:
- нехай
і
;
.
Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.
При розкритті невизначеностей також застосовуються чудові границі та їх наслідки.
Приклад
— приклад[1] невизначеності типу
. За правилом Лопіталя
. Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику
і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій
і
відповідно:
тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.
Примітки
- ↑ Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М. : Наука, 1969. — С. 136.