Теорема Лагранжа
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.
Формулювання теореми[ред. | ред. код]
Якщо функція неперервна на проміжку , диференційовна в , то знайдеться принаймні одна точка така, що має місце формула:
.
Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.
Доведення[ред. | ред. код]
Розглянемо на проміжку наступну допоміжну функцію:
.
Перевіримо, що для функції виконані всі умови теореми Ролля. І справді, неперервна на проміжку (як різниця функції та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку має похідну:
.
З формули (1) очевидно, що .
Згідно з теоремою Ролля на проміжку знайдеться точка така, що
З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що .
Зауваження[ред. | ред. код]
У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.
Інша форма запису[ред. | ред. код]
Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке з проміжку та надамо йому довільний приріст , але такий, щоб значення також належало до проміжку . Тоді для проміжку , будемо мати:
,
де — деяка точка, що лежить між та . Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від ) число з інтервалу , що . Таким чином, формулу (3) можна переписати як
,
де — деяке число з інтервалу . Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».
Геометрична інтерпретація[ред. | ред. код]
Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки та кривої , є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої . Формула Лагранжа означає, що на кривій між точками та знайдеться точка така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.
Механічне значення[ред. | ред. код]
Якщо розглянути функцію як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом , тоді різниця є шлях, пройдений тілом, а різниця є усім часом, який було витрачено на подолання шляху . Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:
.
Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)
- Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 276. — 594 с.