Теорема Лагранжа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція неперервна на проміжку , диференційовна в , то знайдеться принаймні одна точка така, що має місце формула:

.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення[ред.ред. код]

Розглянемо на проміжку наступну допоміжну функцію:

.

Перевіримо, що для функції виконані всі умови теореми Ролля. І справді, неперервна на проміжку (як різниця функції та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка має похідну:

.

З формули (1) очевидно, що .

Згідно з теоремою Ролля на проміжку знайдеться точка така, що

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати

Зауваження[ред.ред. код]

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису[ред.ред. код]

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке з проміжка та надамо йому довільний приріст , але такий, щоб значення також належало до проміжка . Тоді для проміжка , будемо мати:

,

де  — деяка точка, що лежить між та . Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від ) число з інтервалу , що . Таким чином, формулу (3) можна переписати як

,

де  — деяке число з інтервалу . Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація[ред.ред. код]

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки та кривої , є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої . Формула Лагранжа означає, що на кривій між точками та знайдеться точка така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення[ред.ред. код]

Якщо розглянути функцію як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом , тоді різниця є шлях, пройдений тілом, а різниця є усім часом, який було витрачено на подолання шляху . Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил. (рос.)
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.