Теорема Лагранжа

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Розділи в Математичному аналізі

Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Диференціальне числення  Диференціал Похідна Теорема Тейлора Таблиця похідних Диференціювання складної функції Інтегральне числення  Інтеграл Таблиця інтегралів Невласний інтеграл Методи інтегрування Векторне числення  Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Теорема Гріна Теорема Стокса Формула Остроградського Аналіз функцій багатьох змінних  Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми

Якщо функція $\!f$$\!f$ неперервна на проміжку $\![a,b]$$\![a,b]$, диференційовна в $\!(a,b)$$\!(a,b)$, то знайдеться принаймні одна точка $\!c\in [a,b]$$\!c\in [a,b]$ така, що має місце формула:

$\!f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$\!f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку $\![a,b]$$\![a,b]$ наступну допоміжну функцію:

$\!F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)$$\!F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)$.

Перевіримо, що для функції $\!F(x)$$\!F(x)$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, $\!F(x)$$\!F(x)$ неперервна на проміжку $\![a,b]$$\![a,b]$ (як різниця функції $\!f(x)$$\!f(x)$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка $\![a,b]$$\![a,b]$ має похідну:

$\!F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$\!F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

З формули (1) очевидно, що $\!F(a)=\!F(b)=0$$\!F(a)=\!F(b)=0$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку $\!(a,b)$$\!(a,b)$ знайдеться точка $\!c$$\!c$ така, що

$\!F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)$$\!F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати $\!b>\!a$$\!b>\!a$

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай $\!f(x)$$\!f(x)$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке $\!x_{0}$$\!x_{0}$ з проміжка $\![a,b]$$\![a,b]$ та надамо йому довільний приріст $\Delta \ \!x$$\Delta \ \!x$, але такий, щоб значення $\!x_{0}+\Delta \ \!x$$\!x_{0}+\Delta \ \!x$ також належало до проміжка $\![a,b]$$\![a,b]$. Тоді для проміжка $\![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]$$\![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]$, будемо мати:

$\!f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)$$\!f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)$,

де $\!c$$\!c$ — деяка точка, що лежить між $\!x_{0}$$\!x_{0}$ та $\!x_{0}+\Delta \ \!x$$\!x_{0}+\Delta \ \!x$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від $\Delta \ \!x$$\Delta \ \!x$) число $\theta \$$\theta \$ з інтервалу $\!0<\theta \ <1$$\!0<\theta \ <1$, що $\!c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x$$\!c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

$\!f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)$$\!f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)$,

де $\theta \$$\theta \$ — деяке число з інтервалу $\!0<\theta \ <1$$\!0<\theta \ <1$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст $\Delta \ \!x$$\Delta \ \!x$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки $\!(a,f(a))$$\!(a,f(a))$ та $\!(b,f(b))$$\!(b,f(b))$ кривої $\!y=\!f(x)$$\!y=\!f(x)$, $\!f'(c)$$\!f'(c)$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої $\!y=\!f(x)$$\!y=\!f(x)$. Формула Лагранжа означає, що на кривій $\!y=\!f(x)$$\!y=\!f(x)$ між точками $\!x=a$$\!x=a$ та $\!x=b$$\!x=b$ знайдеться точка $\!x=c$$\!x=c$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію $\!f(x)$$\!f(x)$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом $\!s(t)=\!f(x)$$\!s(t)=\!f(x)$, тоді різниця $\!f(b)-\!f(a)$$\!f(b)-\!f(a)$ є шлях, пройдений тілом, а різниця $\!b-\!a$$\!b-\!a$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху $\!f(b)-\!f(a)$$\!f(b)-\!f(a)$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Коші
• Теорема Ролля
• Лагранж Жозеф-Луї

Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил. (рос.)
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.