Теорема Лагранжа

Розділи в
Математичному аналізі
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля
Диференціальне числ. Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Диференціювання складної функції Степінь Зворотня функція
Інтегральне числення Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний) Інтеграл Рімана Інтеграл Лебега Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Ряди Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторне числення Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Формула Остроградського Теорема Гріна Теорема Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізовані Теорія випадкових процесів Варіаційне числення

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми

Якщо функція $f$ неперервна на проміжку $[a,b]$, диференційовна в $(a,b)$, то знайдеться принаймні одна точка $c\in [a,b]$ така, що має місце формула:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку $[a,b]$ наступну допоміжну функцію:

$F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)$.

Перевіримо, що для функції $F(x)$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, $\!F(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ (як різниця функції $\!f(x)$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку $[a,b]$ має похідну:

$F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

З формули (1) очевидно, що $F(a)=\!F(b)=0$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку $(a,b)$ знайдеться точка $c$ така, що

$F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що $b>a$.

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай $f(x)$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке $\!x_{0}$ з проміжку $[a,b]$ та надамо йому довільний приріст $\Delta \ \!x$, але такий, щоб значення $x_{0}+\Delta \ \!x$ також належало до проміжку $[a,b]$. Тоді для проміжку $\![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]$, будемо мати:

$f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)$,

де $c$ — деяка точка, що лежить між $x_{0}$ та $x_{0}+\Delta \ \!x$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від $\Delta \ \!x$) число $\theta \$ з інтервалу $0<\theta \ <1$, що $c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

$f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)$,

де $\theta \$ — деяке число з інтервалу $0<\theta \ <1$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст $\Delta \ \!x$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки $(a,f(a))$ та $(b,f(b))$ кривої $y=\!f(x)$, $\!f'(c)$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої $y=\!f(x)$. Формула Лагранжа означає, що на кривій $y=\!f(x)$ між точками $x=a$ та $x=b$ знайдеться точка $x=c$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію $f(x)$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом $s(t)=\!f(x)$, тоді різниця $f(b)-\!f(a)$ є шлях, пройдений тілом, а різниця $b-\!a$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху $f(b)-\!f(a)$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Коші
• Лагранж Жозеф-Луї
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)
• Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 276. — 594 с.