Прямий вузол (теорія вузлів)

Прямий вузол

Прямий вузол, поданий як стрічковий вузол

В теорії вузлів прямий вузол — це складений вузол, отриманий з'єднанням трилисника з його відбиттям. Вузол тісно пов'язаний з бабиним вузлом, який також є з'єднанням двох трилисників. Оскільки трилисник є найпростішим нетривіальним вузлом, прямий і бабин вузли є найпростішими складеними вузлами.

Прямий вузол є математичною версією побутового прямого вузла.

Побудова

Прямий вузол можна побудувати з двох трилисників, один з яких повинен бути лівостороннім, а інший — правостороннім. Кожен з вузлів розсікається і вільні кінці попарно з'єднуються. Внаслідок з'єднання виходить прямий вузол.

Важливо брати саме два дзеркальних образи трилисника. Якщо взяти два однакових трилисники, вийде бабин вузол.

Властивості

Прямий вузол є ахіральним, що означає, що він не відрізняється від свого дзеркального образу. Число перетинів прямого вузла дорівнює 6, що є мінімумом для складених вузлів.

Многочлен Александера прямого вузла дорівнює

$\Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},$

що просто є квадратом многочлена Александера трилисника.

Аналогічно, многочлен Александера-Конвея прямого вузла дорівнює

$\nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.$

Ці два многочлени такі ж, як і для бабиного вузла. Однак многочлен Джонса прямого вузла дорівнює

$V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.$

Цей многочлен дорівнює добутку многочленів Джонса для лівого і для правого трилисників і він відрізняється від многочлена Джонса для бабиного вузла.

Група прямого вузла задається таким чином:

$\langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle$.

Ця група ізоморфна групі бабиного вузла, і це є найпростішим прикладом двох різних вузлів з ізоморфними групами вузлів.

На відміну від бабиного вузла прямий вузол є стрічковим, а тому зрізаним.

Див. також

• Подвійний вузол
• Бабин вузол
• Бабин вузол (теорія вузлів)

Література

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология математической теории. — Москва : МЦНМО, 2005. — С. 58. — ISBN 5-94057-220-0.
• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Математическое просвещение. Сер. 3. — 1999. — С. 72—73.