Рівноскладеність

Рівноскладеність — відношення між фігурами певного типу (наприклад, многогранниками). Означає, що одну фігуру можна розбити на дрібніші шматки, з яких можна скласти іншу фігуру.

Варіанти визначень

У визначенні слід уточнити клас фігур, тип розрізань або шматків, на які дозволяється розбивати фігуру, і тип перетворень простору, які використовуються під час складання іншої фігури. Наприклад, за клас фігур можна взяти множину багатогранників у евклідовому просторі, шматки також визначити як багатогранники і використовувати рухи простору як перетворення.

Розглядаються також інші групи перетворень, афінні, перетворення подібності і так далі; а також інші типи розрізань, наприклад уздовж жорданових дуг або розбиття на довільні множини.

Теореми

• За теоремою Бояї — Гервіна, будь-який многокутник рівноскладений будь-якому іншому многокутнику тієї ж площі.
  • Аналогічне твердження не виконується для многогранників однакового об'єму; див. Третя проблема Гільберта.
  • Однак стільники рівного об'єму рівноскладені в будь-якій розмірності.
• Рівноскладеність многокутників з розрізанням по жорданових дугах еквівалентна рівноскладеності з розрізанням по відрізках прямих.

• Відсутність обмеження на розрізання призводить до парадоксальних результатів, наприклад:
  • Парадокс Гаусдорфа,
  • Парадокс подвоєння кулі,
  • Квадратура круга Тарського.

Див. також

• Третя проблема Гільберта
• Шарнірна рівноскладеність

Література

• В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22)
• В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. — М. : Наука, 1977. — 208 с.
• А. М. Петрунин, С. Е. Рукшин. Уникальносоставленные фигуры // Матем. просв. сер. 3. — 2006. — Т. 10 (2 червня). — С. 161–175.