Многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Різні види многокутників. Перші три є простими, четвертий не є простим

Многоку́тник[К 1] (багатоку́тник[3][6], поліго́н[3]) — геометрична фігура, замкнена ламана (сама, або разом із точками, що лежать усередині). Вершини цієї ламаної називають вершинами многокутника, а відрізки ламаної — сторонами многокутника.

Дві вершини, що сполучаються відрізком ламаної, називаються суміжними вершинами. Дві сторони, що мають спільну вершину називаються суміжними. Якщо дві несуміжні сторони не мають спільних точок (тобто ламана, що обмежує многокутник, не перетинається), многокутник називається простим.

Види многокутників[ред.ред. код]

Розрізняють:

  • плоскі многокутники, у яких усі сторони лежать в одній площині.
  • опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одній з умов:
 — многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить довільну його сторону;
 — усі внутрішні кути многокутника менші 180°;
 — будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника, перетинає границю многокутника у двох точках.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-який простий плоский многокутник ділить площину, у якій він знаходиться, на дві частини — внутрішню і зовнішню. Якщо довільний промінь, що не містить вершин многокутника, перетинає границю многокутника в непарній кількості точок, то точка, що є початком променя, належить до внутрішньої області, якщо у парній — до зовнішньої області.
  • Сума внутрішніх кутів многокутника дорівнює (n − 2)π радіан або (n − 2)180°.
  • Площа довільного простого многокутника з вершинами, заданими у декартовій системі координат, може бути визначена за формулою:
A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,
  • Якщо відомі сторони многокутника a1,a2, …, an і зовнішні кути, \theta_1, \theta_2,\dots,\theta_n, площа многокутника може бути обчислена за формулою:
\begin{align}A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ) \end{align}

Коментарі[ред.ред. код]

  1. Форма, зафіксована як основний варіант терміну в «Українській радянській енциклопедії»[1][2] і деяких інших (у тому числі сучасних) словниках[3][4][5] і навчально-методичних посібниках. У словниках академічного рівня, починаючи з «Російсько-українського словника наукової термінології» НАН України (1998)[6], а також у ряді авторитетних сучасних фахових довідників[7][8] і універсальних енциклопедій[9] фігурує як вторинна відносно варіанту багатокутник або взагалі не вживається.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Многокутники / А. Г. Медяник // Мікроклін — Олеум. — К.: Головна редакція Української радянської енциклопедії, 1982. — С. 53. — (Українська радянська енциклопедія : у 12 т. Друге вид. ; 1977—1985, т. 7).
  2. Російсько-український математичний словник. — 2-ге вид. — Харків: Основа, 1990. — С. 63 [многокутник]. — ISBN 5-11-001068-4.
  3. а б в Російсько-український математичний словник / уклад.: В. Я. Карачун, О. О. Карачун, Г. Г. Гульчук. — К.: Вища школа, 1995. — С. 98 [многокутник, багатокутник], 140 [полігон, многокутник]. — ISBN 5-11-004518-6.
  4. Короткий російсько-український математичний словник / укл. Печеніжський Ю. Є., Колосов А. І., Станішевський С. О. — 2-е вид. — Харків, 2008. — С. 41 [многокутник].
  5. Короткий російсько-український словник з інформатики та математики / укл.: Булаєнко М. В., Самойленко М. І., Погребняк Б. І. — Харків, 2009. — С. 29 [многокутник].
  6. а б Російсько-український словник наукової термінології: Математика. Фізика. Техніка. Науки про Землю та Космос / [Національна академія наук України, Комітет наукової термінології, Інститут мовознавства ім. О. О. Потебні, Інститут української мови] ; В. В. Гейченко, В. М. Завірюхіна, О. О. Зеленюк та ін. — К.: Наукова думка, 1998. — С. 340 [багатокутник]. — ISBN 5-12-004273-2.
  7. Словник російсько-український політехнічний / уклад.: В. С. Підлипенський, В. М. Петренко. — К. ; Ірпінь: Перун, 2000. — С. 194 [багатокутник].
  8. Російсько-український та українсько-російський словник термінів будівництва й архітектури : у 2 т. / С. Жуковський, Р. Кінаш, Л. Полюга, В. Базилевич. За ред. Р. Кінаша. — Львів: Ліга-Прес, 2005. — Т. 1. — С. 354 [багатокутник].
  9. Багатокутник // Універсальний словник-енциклопедія / гол. ред. М. В. Попович. — 4-е вид., випр. і доп. [онлайн-версія]. — Львів: ТЕКА, 2006.

Джерела[ред.ред. код]