Многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Різні види многокутників. Перші три є простими, четвертий не є простим

Многокутник (полігон) — геометрична фігура, замкнена ламана крива (сама, або разом із точками, що лежать усередині). Вершини цієї ламаної називають вершинами многокутника, а відрізки ламаної — сторонами многокутника.

Дві вершини, що сполучаються відрізком ламаної називаються суміжними вершинами. Дві сторони, що мають спільну вершину називаються суміжними. Якщо дві несуміжні сторони не мають спільних точок (тобто ламана, що обмежує многокутник не перетинається), то многокутник називається простим.

Види многокутників[ред.ред. код]

Розрізняють:

  • плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
  • опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника перетинає границю многокутника у двох точках.
  • правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з рівними сторонами та кутами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-який простий плоский многокутник ділить площину в якій він знаходиться на дві частини — внутрішню і зовнішню. Якщо довільний промінь, що не містить вершин многокутника перетинає границю многокутника в непарній кількості точок, то точка, що є початком променя належить внутрішній області, якщо у парній — зовнішній області.
  • Сума внутрішніх кутів многокутника рівна (n - 2)π радіан або (n - 2)180°.
  • Площа довільного простого многокутника з вершинами заданими у декартовій системі координат може бути визначена за формулою:
A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,
  • Якщо відомі сторони многокутника a1,a2, ..., an і зовнішні кути, \theta_1, \theta_2,\dots,\theta_n то площа може бути обчислена за формулою:
\begin{align}A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ) \end{align}

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]