Прапор (лінійна алгебра)

Прапор — послідовність вкладених один в одного підпросторів векторного простору $L$ (або простору іншого типу, для якого визначено поняття розмірності), що має вигляд

$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,$

де

$0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.$

Найбільш часто зустрічається поняття повного (або максимального) прапора, в якому $\dim L_{i}=i$, і отже, число $k=\dim L.$

Якщо позначити dim L_i = d_i то набір чисел (d₁, … d_k) називається сигнатурою прапора.

Поняття прапора використовується головним чином в алгебрі та геометрії (іноді називається також фільтрацією).

Базиси і прапори

Кожен базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ векторного простору $L$ визначає в ньому деякий повний прапор. А саме $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ (тут трикутні дужки означають лінійну оболонку векторів). Даний базис векторного простору називається узгодженим з відповідним прапором.

Побудована таким чином відповідність між базисами і повними прапорами не є взаємно однозначною: різні базиси простору можуть визначати в ньому один і той же прапор. Якщо векторний простір $L$ є евклідовим, то, оперуючи не з будь-яким, а лише з ортонормованим базисом цього простору, ми отримуємо відповідність між ортонормованими базисами з точністю множення на елемент одиничної норми і повними прапорами.

Дія лінійної групи і стабілізатор

На множині прапорів заданої сигнатури природно вводиться дія загальної лінійної групи. Стабілізаторами називаються такі елементи, щр для всіх підпросторів у прапорі виконується $T(L_{i})\subset L_{i}.$

В матричній термінології стабілізаторами будуть верхні трикутні блокові матриці з блоками розмірами $d_{i}-d_{i-1}.$ Зокрема стабілізаторами повних прапорів у узгоджених базисах будуть невироджені верхні трикутні матриці.

Гніздо

У нескінченновимірному просторі V ідея прапора узагальнюється до гнізда. А саме, набір підпросторів, цілком упорядкованих по включенню замкнутих підпросторів, називається гніздом.

Див. також

• Грассманіан
• Прапор (геометрія)

Література

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.