Загальна лінійна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення[ред. | ред. код]

Загальною лінійною групою порядку називається четвірка , де:

  • є асоціативним кільцем з одиницею,
  • — оборотні матриці порядку над даним кільцем,
  • Груповою операцією є множення матриць,
  • Зворотним елементом є обернена матриця,
  • Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори[ред. | ред. код]

Якщо векторний простір над полем , то загальною лінійною групою лінійного простру або називається група всіх автоморфізмів , тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність , то і ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів . Якщо — базис, і автоморфізмів , маємо

для деяких констант . Матриця, відповідна має елементами .

Визначники[ред. | ред. код]

Матриця є оборотна над полем , якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця маємо: матриця над є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в . Отже, може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група[ред. | ред. код]

Спеціальною лінійною групою порядку над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку з елементами поля , визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається .

Примітки[ред. | ред. код]

  • Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
  • Спеціальну лінійну групу можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля[ред. | ред. код]

Якщо є скінченним полем з елементами, іноді використовується запис .

Порядок[ред. | ред. код]

Порядок групи

.

Для прикладу, порядок рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи

Аналогічні формули для :

.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо n > 2, то група не є абелевою.
  • є нормальною підгрупою .
  • Нехай буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
    .
  • є напівпростим добутком

Пов'язані групи[ред. | ред. код]

Проективна група[ред. | ред. код]

Проективна група і проектні спеціальні лінійні групи є факторгрупами і відносно скалярних матриць.

Афінна група[ред. | ред. код]

Афінна група — розширення за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Література[ред. | ред. код]

  • Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703