Дія групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ді́я групи на множині — це відображення

що має властивості:

для всіх де — це нейтральний елемент

З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом

Типи дій[ред.ред. код]

  • Вільна, якщо для будь-яких не рівних між собою і довільного виконується .
  • Транзитивна якщо для будь-яких існує такий, що , тобто якщо для довільного .
  • Ефективна, якщо для довільних існує такий, що .

Орбіти елементів[ред.ред. код]

Підмножина

називається орбітою елемента .

Дія групи на множині визначає на ній відношення еквівалентності

Стабілізатор[ред.ред. код]

Підмножина

є підгрупою групи і називається стабілізатором елемента .

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент , що

Кількість елементів в орбіті[ред.ред. код]

Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою:

, де — стабілізатор елемента і індекс підгрупи , що для скінченних груп рівний .

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді і згідно з означенням стабілізатора звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо , то

формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

  1. Лема Бернсайда

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.