Парна функція

Приклад парної функції: f(x) = x²

Па́рна фу́нкція — функція $f:X\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, визначена на симетричній (відносно початку координат) множині $X$, яка не змінює значення при зміні знаку аргумента, тобто:

$f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.\!$

Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.

Властивості

• Сума і різниця парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
• Композиція парних функцій буде парною функцією

Приклади

• $y=|x|$
• $y=x^{2}$
• $y=7x^{4}-4x^{2}+5-{\frac {3}{x^{2}}}$ (тільки парні степені)
• $y=\cos x$

Алгоритм дослідження функції на парність

Дослідженням функції на парність - це вивчення питання про те, чи є задана функція парною.

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на парність:

• Знайти для функції $y=f(x)$ область визначення функції ($D(y)$ ) та встановити чи симетрична $D(y)$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції ($D(y)$) симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз $f(-x)$;
  • порівняти $f(-x)$ та $f(x)$, якщо функція $f(-x)=f(x)$ для будь-якого значення $x$ з області визначення функції ($D(y)$), то функція $y=f(x)$ - парна.

Приклади дослідження парності функції

Приклад 1. Дослідити на парність функцію $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$

Розв'язання:

Областю визначення функції $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ : $D(y)=(-\infty ;-{\sqrt {5}})\cup (-{\sqrt {5}};{\sqrt {5}})\cup ({\sqrt {5}};+\infty )$ - симетрична відносно нуля. Замінити аргумент $x$ функції $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ на $-x$, отримаємо : $f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}$. Оскільки аргумент в чисельнику і знаменнику в парному степені, а степінь від'ємного числа з парним показником є додатним числом, тому $f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$. Виконується тотожність $f(-x)=f(x),x\neq {\sqrt {5}};x\neq -{\sqrt {5}}$, тому функція $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ - парна.

Див. також

• Непарна функція
• Парність (математика)

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 17—18.(рос.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)
• Функція парна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.