Вершина кривої
В геометрії кривих, вершина — це точка, в якої перша похідна кривини дорівнює нулю.[1] Як правило, це локальний максимум або мінімум кривини,[2] і деякі автори визначають вершину як екстремальну точку кривини.[3] Однак, тут можуть виникнути спеціальні випадки, наприклад, коли друга похідна теж дорівнює нулю або коли кривина постійна.
Приклади[ред. | ред. код]
Гіпербола має дві вершини, на кожній гілці — одну. Ці вершини мають найменшу відстань поміж двома точками на гіперболі та лежать на головній осі. На параболі всього одна вершина, і вона лежить на осі симетрії.[2] В еліпса чотири вершини, дві з них лежать на великій осі та дві на малій.[4]
На колі, оскільки воно має сталу кривину, будь-яка точка є вершиною.
Точки перегину и дотику[ред. | ред. код]
Вершини — це точки, де крива має дотик порядку 3 зі стичним колом в цій точці.[5][6] Звичайно точки на кривій мають зі стичним колом дотик другого порядку. Еволюта кривої звичайно має касп, якщо крива має вершину[6]. Бувають й інші особливі точки в вершинах великого порядку, в яких порядок дотику зі стичним колом більше трьох.[5] Хоча звичайно крива не має вершин високого порядку, у сімействах кривих дві звичайні вершини можуть злитися в вершину великого порядку, а потім зникнути.
Множина симетрії[en] кривої має кінці в каспах, що відповідають вершинам, а срединна вісь, підмножина множини симетрії, також має кінці в каспах.
Інші властивості[ред. | ред. код]
Згідно з теоремою про чотири вершини будь-яка проста замкнена пласка крива повинна мати щонайменше чотири вершини.[7] Більш загальне твердження, що будь-яка проста замкнена крива у просторі розташована на опуклій поверхні, або обмежує локально опуклий диск, має чотири вершини[8][9].
Якщо крива дзеркально симетрична, вона має вершину в точці перетину осі симетрії з кривою. Таким чином, поняття вершини кривої тісно пов'язано з оптичними точками, точками, в яких оптична вісь перетинає поверхню лінзи.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 126.
- ↑ а б Gibson, 2001, стор. 127.
- ↑ Fuks та Tabachnikov, 2007, стор. 141.
- ↑ Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 127.
- ↑ а б Gibson, 2001, стор. 126.
- ↑ а б Fuks та Tabachnikov, 2007, стр. 142.
- ↑ Agoston, 2005, Теорема 9.3.9, стор. 570; Gibson, 2001, Section 9.3, «The Four Vertex Theorem», стор. 133–136; Fuks та Tabachnikov, 2007, Теорема 10.3, стор. 149.
- ↑ Sedykh, V.D. (1994). Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (2): 177–180.
- ↑ Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626
Посилання[ред. | ред. код]
- Max K. Agoston «Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics»//Springer — 2005.
- D. B. Fuks, Serge Tabachnikov «Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics»//American Mathematical Society — 2007.
- C. G. Gibson «Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction»//Cambridge University Press — 2001.