Метод трапецій (математика)

Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір).

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції $f(x)$ трапецією та обчисленні її площі. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу $[a,b]$, то отримаємо

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a),\quad (*)$

але це незадовільно через велику похибку.

Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування $[a,b]$ на $n$ підінтервалів $[a,x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},b],$ та застосувати формулу (*) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i-1})}{2}}\Delta x_{i},$

де $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},x_{0}=a,x_{n}=b.$

У методі трапецій переважно застосується розбиття інтервалу інтегрування на $n$ рівних відрізків довжиною $h=\Delta x=(b-a)/n.$ Тоді попередня формула перетворюється на таку:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)h,$

і похибка, так званий залишковий член $E(f)$ не перевищує за ${\frac {(b-a)^{3}M}{12n^{2}}},$ де $M=\operatorname {max} \{|f''(x)|:x\in [a,b]\}$ — це максимум другої похідної функції $f(x)$ на всьому інтервалі^{[джерело?]}. Відзначимо, що за збільшення числа $n$ інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як $O(1/n^{2}).$

Див. також

• Метод Сімпсона
• Метод прямокутників

Посилання

• Формула трапецій // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 449. — 594 с.