Трапеція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Trapezoid.svg

Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AD та BC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AB та CD).

Виділяють три спеціальні класи трапецій:

  • Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
  • Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.
  • Різностороння трапеція, у якої всі сторони різні.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

l=\frac{a+b}{2}.

Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.

Етимологія[ред.ред. код]

Термін трапеція пішов від грецького τραπέζιον (trapézion), буквально «столик», зменшувальне від τράπεζα (Трапеза), «за столом», який сам з τετράς (тетр), «чотири» + πέζα (Пеза), «нога, ребро». Першим задокументованим використанням грецького слова (перекладене «трапеція») (τραπεζοειδή, trapezoeidé, «стіл-подібний») був переклад Прокла (412—485 н. е.) в своєму коментарі до першої книги Початки Евкліда.

Властивості[ред.ред. код]

Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

  • Сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
  • Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
  • Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
  • В трапецію можна вписати коло, якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.
  • Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
  • Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
  • Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
  • Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90о, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
  • Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
  • Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
  • В рівнобічній трапеції кути при основі, а також при діагоналі рівні.
  • Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Висота трапеції[ред.ред. код]

Схематичні зображення до формул.

Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:

h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}
h= c\cdot\sin\alpha=c\cdot\sin\beta

Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними: де b — більша основа, a — меньша основа, c и d — бокові сторони.

h=\frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\alpha = \frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\beta.

Площа трапеції[ред.ред. код]

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

S=\frac{a+b}{2}h=lh

Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції може бути використана інша формула визначення площі. Якщо позначити основи трапеції a та b (b>a), а бічні сторони c та d, то

S=\frac{1}{4}\frac{b+a}{b-a}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}

Або:

S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}

Площа рівнобічної трапеції з радіусом вписаного кола r та кутом при основі \alpha:

S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]