Трапеція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Trapezoid.svg

Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AD та BC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AB та CD).

Виділяють три спеціальні класи трапецій:

  • Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
  • Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.
  • Різностороння трапеція, у якої всі сторони різні.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

l=\frac{a+b}{2}.

Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.

Етимологія[ред.ред. код]

Термін трапеція пішов від грецького τραπέζιον (trapézion), буквально «столик», зменшувальне від τράπεζα (Трапеза), «за столом», який сам з τετράς (тетр), «чотири» + πέζα (Пеза), «нога, ребро». Першим задокументованим використанням грецького слова (перекладене «трапеція») (τραπεζοειδή, trapezoeidé, «стіл-подібний») був переклад Прокла (412—485 н. е.) в своєму коментарі до першої книги Початки Евкліда.

Основні види трапецій[ред.ред. код]

Трапецію називають прямокутною, якщо у неї два суміжних кути дорівнюють 90°.

Гострою називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).

Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симметрію.

Тупою називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).

Трапеція з двома парами паралельних сторін називається паралелограмом. Паралелограм має дві осьові симметрії.

У широкому сенсі, всі паралелограми (включаючи ромби, прямокутники і квадрати) є трапеції. Прямокутники мають дзеркальну симетрію по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.

Дотичною називається трапеція, в яку має вписане коло.

Властивості[ред.ред. код]

Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

  • Сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
  • Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
  • Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
  • В трапецію можна вписати коло, якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.
  • Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
  • Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
  • Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
  • Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
  • Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
  • Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
  • В рівнобічній трапеції кути при основі, а також при діагоналі рівні.
  • Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Висота трапеції[ред.ред. код]

Схематичні зображення до формул.

Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:

h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|},

де a, b — основи трапеції, а c і d — бокові сторони. Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:

h= c\cdot\sin\alpha=d\cdot\sin\beta

Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:

h=\frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\alpha = \frac{d_1\cdot d_2}{a+b}\cdot\sin\beta.

Формула висоти трапеції, виражена через площу:

h=\frac{2S}{a+b}=\frac{2S}{m}, де S — площа трапеції, m — середня лінія.

Площа трапеції[ред.ред. код]

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

S=\frac{a+b}{2}h=lh

Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можемо використовувати іншу формулу визначення площі. Якщо позначити основи трапеції a та b (b>a), а бічні сторони c та d, то

S=\frac{1}{4}\frac{b+a}{b-a}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}.

Або:

S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}.

В 499 році н. е. Аріабхата, великий математик-астроном з класичної епохи індійської математики та індійської астрономії, використовував окремий випадок добре відомої формули для площі трикутника, розглядаючи трикутник як вироджену трапецію, у якої одна з паралельних сторін стиснулася до точки. У такому випадку формула для находження площі зводиться до формули Герона для площі трикутника.

Інша еквівалентна формула для площі, яка ближче нагадує формулу Герона, є:

S = \frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}, де s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d) — півпериметр трапеції.


Площа рівнобічної трапеції з радіусом вписаного кола r та кутом при основі \alpha:

S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}.

Діагоналі[ред.ред. код]

Trapezium.svg

Довжину діагоналей трапеції можна обчислити за формулами:

p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{b-a}},,
q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{b-a}},

де a, b — основи трапеції, а c і d — бокові сторони.

Якщо трапеція ділиться діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці О, на чотири трикутники (як показано праворуч), то площа трикутника ΔAOD дорівнює площі трикутника ΔBOC, і добуток площ трикутників ΔAOD і ΔBOC дорівнює добутку площ трикутників ΔАОВ і ΔCOD. Відношення площ кожної пари суміжних трикутників таке ж, що між довжинами паралельних сторін.

Діагоналі трапеції  d_1 та  d_2 пов'язані зі сторонами співвідношенням:

d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 .

Їх можна знайти за формулами:

 d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}
 d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}

Також діагоналі можна знайти через висоту трапеції за наступними формулами:

d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}
d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}

Використовування в архітектурі[ред.ред. код]

В архітектурі слово трапеція використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих ширше біля основи, звужених до вершини (в єгипетському стилі). Існує чимало будівель, що мають форму рівнобічної трапеції. Це був стандартний стиль для дверей і вікон у інків.[1]

Примітки[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]