Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді $\ A=LL^{T},$ де $\ L$ — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо $\ A$ — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад $\ A=LL^{*}.$

Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918).

Алгоритм

Елементи матриці $\ L$ можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

$L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}^{2}}}$

$L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}\right)$, якщо $\ j<i$.

Вираз під коренем завжди додатній, якщо $A$ — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

$L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}L_{i,k}^{*}}}$

$L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}^{*}\right)$, якщо $\ j<i$.

LDL-розклад

Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:

$\ A=LDL^{T}$

де $\ L$ — одинична нижня трикутна матриця; $\ D$ — діагональна матриця.

$D_{j}=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{jk}^{2}D_{k}$

$L_{ij}={\frac {1}{D_{j}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}D_{k}\right)$, якщо $\ j<i$.

Застосування

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь $Ax=b$ з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад $A=LL^{T}$, розв'язок $x$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: $Ly=b$ та $L^{T}x=y$. Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)