В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.
Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.
Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в
.
Для довільної підмножини
числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину
. Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини
, і називається зовнішньою мірою:
![{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed40212fb2e60a96d4e7f633daacc78a68e866cb)
Варіанти позначення зовнішньої міри:
![{\displaystyle m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae29abc42febec365ce9ae92cfa079dd1b0a041b)
Нехай
— фіксована універсальна множина.
Зо́внішньою мі́рою називається функція
така, що
;
.
Нехай
— міра, визначена на кільці
. Зовнішньою мірою, породженою мірою
, називається функція
така, що
якщо хоч одне таке покриття множини
існує;
в іншому випадку.
Теорема. Зовнішня міра
, породженна мірою
, є зовнішньою мірою.
Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри.
.
визначена на
.
.
Перевіримо другий пункт означення. Нехай
. Якщо існує така множина
з покриття, що
, то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що
. Візьмемо довільне
, за означенням точної нижньої межі
.
Тоді
.
Оскільки
є зліченним об'єднанням елементів кільця
, то
. ![{\displaystyle \vartriangleleft }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9d6e302fa02d3bb6a353a548cc173fd2cc3b90)
Властивості зовнішньої міри
:
.
Дійсно,
. ![{\displaystyle \vartriangleleft }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9d6e302fa02d3bb6a353a548cc173fd2cc3b90)
(монотонність).
Випливає з попередньої властивості при
.
- вимірні множини
[ред. | ред. код]
Нехай
— деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини
. Тоді множини
, такі що для всіх
виконується рівність:
![{\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap E^{'}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83028bd9e11dfc792adf50fb6b58ae0db8fd420)
називаються
- вимірними.
- вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція
визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою
. Якщо зовнішня міра
породжена деякою мірою
визначеною на кільці
то
буде продовженням міри
(де
визначена вище міра породжена
).
Якщо визначити
деяка зовнішня міра породжена мірою
то
тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра
є породжена деякою мірою
[1].
- ↑ Халмош П.Р. Теория меры ст. 57
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
- Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953