У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.
Нехай у просторі векторів
визначена норма вектора
. Тоді нормою матриці
називають число
.
У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:
. Тоді
![{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\left(\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95a6dd3feaadfdd08ea57549dcdc4a87fbb587a)
. Тоді
![{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq m}\left(\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebdef98d3e50b16477f9affc75da187c6e987c4)
. Тоді
,
де
— власні значення матриці
.
Матрицю розмірності
можна трактувати як вектор довжини
і застосовувати до нього норму вектора.
Виглядає так:
![{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257f313ccfd7f74fd71871e9b3ba7de440480875)
Хай
позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай
позначає векторний простір, що містить всі матриці з
рядків та
стовпців з елементами типу
.
Якщо
позначає норму матриці
, тоді для неї виконуються такі властивості:
якщо
та
тоді і тільки тоді, коли ![{\displaystyle A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c34024483e6fb7c89e45aff3882ebf11d95a00)
та ![{\displaystyle \forall A\in K^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c249d2f2568416a45d4853d429ea6999c22d5a)
![{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\qquad \forall A,B\in K^{m\times n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8e6db3e4925aa60339ae92ba0cc145bc1b5fb2)
Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:
для всіх
та
з ![{\displaystyle K^{n\times n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea0cf04862bac4b0e9ba0bbe5116186c39966b7)
Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).
Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.
Матрична норма
на
називається узгодженою (англ. consistent) з векторними нормами
і
на
і
відповідно, якщо:
![{\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|\|x\|_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35640d08a366b9e4717b94ae8d4850427c26b826)
для всіх
. Усі індуковані норми узгодженні за означенням.
Матрична норма
на
називається сумісною (англ. compatible) з векторною нормою
на
якщо:
![{\displaystyle \|Ax\|_{a}\leq \|A\|\|x\|_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364426f722171a6db592ef9950c2373997c97b72)
для всіх
. Індукована норма сумісна за означенням.