Парадокс Ґреллінґа — Нельсона

Парадокс Ґреллінґа — Нельсона сформульовано в 1908 році Куртом Ґреллінґом та Леонардом Нельсоном, часом його авторство помилково приписують німецькому філософу та математику Герману Вайлю, та використовують термін «парадокс Вайля». Цей парадокс аналогічний парадоксові Цирульника, парадоксові брехуна і парадоксові Рассела.

Означення

Визначимо атрибути «автологічний» (використовують також синонім бларді, англ. blardy) і «гетерологічний» таким чином:

• Слово є автологічним тоді і тільки тоді, коли воно описує самого себе.

Наприклад, багатоскладовий є автологічним.

• Слово є гетерологічним тоді і тільки тоді, коли воно не описує самого себе.

Наприклад, односкладовий є гетерологічним.

Парадокс полягає в наступному: чи є слово «гетерологічний» гетерологічним?

Запитання не має відповіді:

якщо так, тоді воно є автологічним (описує самого себе), а отже НЕ гетерологічним;

якщо ні, то воно є гетерологічним за визначенням.

Формально-множинне означення та наслідки для теорії множин

Скористаємось для зручності синонімом бларді для автологічний. Це штучне слово було винайдене саме для демонстрації парадоксу Ґреллінґа-Нельсона.

У термінах теорії множин, бларді можна визначити таким чином: для властивості $x$, нехай $S(x)$ це множина слів або фраз $S$ така, що всі вони посідають властивість $x$:

1. S(«багатоскладовий») множина всіх багатоскладових слів, тоді S("багатоскладовий")={багато, велосипед,...}.
2. Подібним чином, S(«римується з Ківалов»)={Кідалов,...}.

Атрибут $x$ є бларді якщо $x\in S(x)$, та антибларді якщо $x\notin S(x)$

Теорема: Існують слова що не є ні бларді, ані антибларді. Приклад: «бларді».

Доведення від супротивного: Припустимо, «бларді» є бларді. Тоді S(бларді) містить «бларді». Тоді «антибларді» належить S(антибларді), і звідси є по означенню бларді. Отже, «антибларді» є і бларді і антибларді, що є суперечністю.

Тепер припустимо, що «бларді» є антибларді. Тоді «антибларді» не є антибларді, а отже бларді. По означенню, S(антибларді) тоді містить «антибларді», отже «антибларді» є як антибларді так і бларді знову, що є суперечністю.

Дана теорема доводить неможливість розбиття множини на підмножини що містять самі себе та підмножини що не містять самі себе. Дивись також парадокс Рассела.

Приклади

Гетерологічні слова/вирази

• Абревіатура
• Дієслово
• Множина
• Помилковий
• Синій
• Англійський

Автологічні слова/вирази

• Багатоскладовий
• Іменник
• Український
• English
• Синій — в даному контексті
• Елемент списку — в даному контексті
• Останній елемент списку — в даному контексті

Посилання

• Автологічні слова (англ.)