Парадокс Расселла

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Парадокс Рассела)
Перейти до: навігація, пошук
Бертран Расселл у 1938 році

Парадо́кс Ра́сселла (антиномія Расселла, також парадокс Расселла — Цермело) — відкритий 1901 року Бертраном Расселлом теоретико-множинний парадокс (антиномія), що демонструє суперечливість логічної системи Фреге, яка була ранньою спробою формалізації наївної теорії множин Георга Кантора. Був відкритий раніше, однак не опублікований Ернстом Цермело.

Неформальною мовою парадокс можна описати так. Умовимось називати множину «звичайною», якщо вона не є своїм власним елементом. Наприклад, множина всіх людей є «звичайною», оскільки сама множина — не людина. Прикладом «незвичайної множини» є множина всіх множин, оскільки вона сама є множиною, а отже не є своїм власним елементом.

Можна розглядати множину всіх «звичайних» множин, така множина називається расселловою множиною. Парадокс виникає за спроби визначити, чи є ця множина «звичайною» чи ні, тобто чи містить вона сама себе як елемент. Є два варіанти.

  • З одного боку, якщо вона «звичайна», то повинна містити сама себе як елемент, оскільки вона за визначенням складається зі всіх «звичайних» множин. Але тоді вона не може бути «звичайною», оскільки «звичайні» множини — це ті, які самі себе не містять.
  • Залишається припустити, що ця множина є «незвичайною». Тоді вона не може містити себе як елемент, оскільки вона за визначенням належна складатись лише зі «звичайних» множин. Але якщо вона не містить себе як елемент, то це «незвичайна» множина.

Попри все виходить суперечність. Такі парадоксальні судження, які доказують, що два протилежних висловлення випливають одне з одного, називають антиноміями.

Формулювання[ред.ред. код]

Парадокс Расселла формалізується в наївній теорії множин. Як наслідок, наївна теорія множина є суперечливою. Тим паче, суперечливим є фрагмент наївної теорії множин, який можна визначити як теорію першого порядку з бінарним відношенням приналежності і схемою виділення: для кожної логічної формули із одною вільною змінною в наївній теорії множин є аксіома

.

Ця аксіома стверджує, що для кожної умови існує множина що складається з тих які задовольняють умову .

Цього є цілком достатньо, щоби сформулювати парадокс Расселла таким чином. Нехай є формулою (Тобто означає, що множина не містить себе як елемент, або, нашою термінологією, є «звичайною» множиною.) Тоді, за аксіомою виділення, знаходиться множина (расселлова множина) така, що

.

Оскільки це справджується для будь-якого то справджується і для Тобто

Із цього випливає, що в наївній теорії множин виводиться суперечність.

Парадокс би не виник, якщо припустити, що расселлової множини не існує. Однак саме таке припущення є парадоксальним: у канторовій теорії множин вважається, що будь-яка властивість визначає множину елементів, що задовольняють цю властивість. Оскільки властивість множини бути «звичайною» виглядає коректно визначеною, то має існувати множина всіх «звичайних» множин. Зараз така теорія називається наївною теорією множин.

Варіанти[ред.ред. код]

Є декілька варіантів парадоксу Расселла. На відміну від самого парадоксу, вони, здебільшого, не виражаються формальною мовою.

Парадокс брехуна[ред.ред. код]

Докладніше: Парадокс брехуна

Парадокс Расселла пов'язаний із відомим ще з античних часів парадоксом брехуна. Парадокс можна сформулювати так: хтось стверджує: 

 — Це висловлювання хибне.

Чи є це висловлювання істинним, чи є хибним?

Якщо спробувати визначити, чи є висловлювання істинним чи хибним, ми неминуче дійдемо до суперечності. Це твердження не може бути ні таким, ні іншим.

Расселл про цей парадокс писав:

« Це древня загадка, і ніхто не ставився до неї серйозніше, ніж до жарту, допоки не виявилось, що вона стосується таких важливих і практичних питань, як існування найбільшого кардинального та порядкового числа.
Оригінальний текст (англ.)

It is an ancient puzzle, and nobody treated that sort of thing as anything but a joke until it was found that it had to do with such important and practical problems as whether there is a greatest cardinal or ordinal number.

 »

Сам Расселл так пояснював парадокс брехуна. Щоб говорити що-небудь про висловлювання, належно спочатку визначити саме поняття «висловлювання», при цьому не використовуючи невизначені досі понять. Таким чином, можна визначити висловлювання першого типу, які нічого не говорять про висловлювання. Потім можна визначити висловлювання другого типу, які говорять про висловлювання першого типу, і так далі. Висловлювання ж «це висловлювання хибне» не підпадає ні під одне з цих визначень, і таким чином не має сенсу.

Парадокс цирульника[ред.ред. код]

Расселл згадує такий варіант парадоксу, сформульований у формі загадки, яку йому хтось підказав:

Нехай у якомусь селі живе цирульник, який голить тихі лишень тих, хто не голиться сам. Чи голить цирульник себе?

Із будь-якої відповіді випливає суперечність. Бертран Расселл зазначає, що цей парадокс не еквівалентний його парадоксу й легко вирішується. Насправді, як і парадокс Расселла показує, що не існує расселлової множини, парадокс цирульника показує, що такого цирульника просто не існує. Різниця полягає в тому, що в неіснуванні такого цирульника нічого дивного немає: не для всякої властивості знаходиться цирульник, який голить людей, що володіють цією властивістю. Однак те, що не існує множини елементів, заданих певною цілком визначеною властивістю, суперечить наївній уяві про множини й потребує пояснення.

Варіант з каталогами[ред.ред. код]

Найближчим за формулюванням до парадоксу Расселла є такий варіант викладу:

Бібліографічні каталоги — це книги, що описують інші книги. Деякі каталоги можуть описувати інші каталоги. Деякі каталоги можуть навіть описувати самі себе. Чи можна укласти каталог усіх каталогів, що не описують самі себе?

Парадокс виникає за спроби визначити, чи повинен цей каталог описувати сам себе. Незважаючи на ніби-то очевидну схожість формулювань (це фактично парадокс Расселла, в якому замість множин використовуються каталоги), цей парадокс, як і парадокс цирульника, розв'язується легко: такий каталог укласти неможливо.

Парадокс Ґреллінґа — Нельсона[ред.ред. код]

Цей парадокс 1908 року сформулювали німецькі математики Курт Ґреллінґ[de] і Леонард Нельсон[de]. Він фактично є перекладом первісного варіанту парадоксу Расселла, поданого ним у термінах логіки предикатів , математичною мовою.

Називатимемо прикметник рефлексивним, якщо цей прикметник володіє властивістю, яку визначає. Наприклад, прикметники «український», «багатоскладовий» — володіють властивостями, які вони визначають (прикметник «український» є українським, а прикметник «багатоскладовий» є багатоскладовим), тому вони є рефлексивними, а прикметники «німецький», «односкладовий» — є нерефлексивними. Чи є прикметник «нерефлексивний» рефлексивним, чи ні?

Із будь-якою відповіді випливає суперечність. На відміну від парадоксу цирульника, розв'язання цього парадоксу не є таким простим. Не можна просто сказати, що такого прикметника «нерефлексивний» не існує, оскільки ми його тільки-що визначили. Парадокс виникає через те, що визначення терміна «нерефлексивний» некоректне саме собою. Визначення цього терміна залежить від значення прикметника, до якого воно застосовується. А оскільки слово «нерефлексивний» саме є прикметником у визначенні, то виникає хибне коло.

Історія[ред.ред. код]

Пов'язані парадокси[ред.ред. код]

Авторефлексія використовується в багатьох парадоксах, окрім розглянутих раніше:

Примітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]