Перша квадратична форма або метричний тензор поверхні — квадратична форма від диференціалів координат на поверхні, яка визначає внутрішню геометрію поверхні в
околі даної точки.
Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення довжин дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.
Нехай поверхня задана рівнянням
![{\displaystyle r=r(u,v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e98f477a69c6a9f424c49ae4ab7a4a38baaaec6)
де
і
― внутрішні координати на поверхні;
![{\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ce702299bde41cd0b00a28c3ae35351dcd8929)
― Диференціал радіус-вектора
уздовж обраного напрямку зміщення з точки
в нескінченно близьку точку
.
Квадрат головної ліпшицевої частини приросту довжини
виражається квадратом диференціала
:
![{\displaystyle dr^{2}=r_{u}^{2}du^{2}+2\langle r_{u}r_{v}\rangle dudv+r_{v}^{2}dv^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd5410fb98aa055c20dce3afe035014c13c836b)
і називається першою основною квадратичною формою поверхні.
Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через
![{\displaystyle E=|r_{u}|^{2},F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,G=|r_{v}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69b77c8422a159b14f9064891c0846fe2b328d8)
або в тензорних символах
![{\displaystyle dr^{2}=g_{1,1}du^{2}+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}dv^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89584d5e2c56fac06684e3568379423528833151)
Тензор
називається основним, або метричним, тензором поверхні.
Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?
[ред. | ред. код]
- Довжина кривої на поверхні.
- Кут між кривими на поверхні.
- Площа поверхні.
- Перша квадратична форма є додатно визначеною формою в звичайних точках поверхні:
![{\displaystyle EG-F^{2}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f860487d4536649466a7e6a7a9833c5ae5b5bb16)
Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні.
Лінійний елемент ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді
.
Класична площа елемента задається
може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою тотожності Лагранжа,
![{\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\langle X_{u},X_{v}\rangle ^{2}}}\ du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bc50150062b0abf22e881fd05a43c8c2f3bce5)
Сфера одиничного радіуса в
може бути параметризована як
![{\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4c1a466d0d7ec5b4abd16c550f47bfbf26625d)
диференціюючи
по змінних
та
отримуємо
![{\displaystyle X_{u}={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\ X_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613adb9b38eec60cd665da5a7cf020b37615ab2d)
Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку часткових похідних
![{\displaystyle E=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b010a84b8d51831e8407cd7cc8bf55d97df25447)
![{\displaystyle F=X_{u}\cdot X_{v}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9d057ef30fad69bb53ec66d72952fb2ed76421)
![{\displaystyle G=X_{v}\cdot X_{v}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973ab042ade1a2639f83e4a6b1358bf54db1bb84)
Екватор сфери є параметризована крива, задана
з
в діапазоні від
до
. Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }|{\sin v}|\,dt=2\pi \sin {\frac {\pi }{2}}=2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6218e346b2b8dddd736d4f337764858f818949e)
Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3bdebf1bc127b7272048c5ce431ae62d1a35f6)