Довжина кривої

Довжина кривої | |
![]() | |
Наступник |
площа поверхні ![]() |
---|---|
Розмірність |
![]() |
Формула |
![]() |
Позначення у формулі |
, , , і ![]() |
Символ величини (LaTeX) |
[1] ![]() |
Властивий |
крива ![]() |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика ![]() |
Рекомендована одиниця вимірювання |
м[1][2] ![]() |
![]() ![]() |
Довжиною кривої в метричному просторі називається варіація відображення, що задає криву, тобто довжина кривої — це величина, що дорівнює
де точна верхня грань береться по всіх розбиттях відрізка .
Для евклідового простору це означає, що довжина кривої визначається як точна верхня границя для вписаних в криву ламаних.
Якщо довжина скінченна, то кажуть, що крива спрямна, інакше — неспрямна.
Якщо крива класу в , тоді її довжина дорівнює:
- У загальному випадку — .
- У — .
- Якщо крива задана у як , то її довжина дорівнює .
- У полярних координатах для плоскої кривої:
Історично обчислення довжини дуги називалося спрямленням кривої. Задача спрямляння виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне спрямлення було виконано для кола. Декарт навіть висловлював думку, що «відношення між прямим і кривим невідоме, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми». Першим досягненням стало спрямлення параболи Нейла (1657), виконане Ферма і самим Нейлом. Незабаром було знайдено довжину дуги циклоїди (Рен, Гюйгенс). Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
- Обчислення довжини дуги кривої // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 428. — 594 с.
- ↑ а б 3-1.7 // Quantities and units — Part 3: Space and time, Grandeurs et unités — Partie 3: Espace et temps — 2 — ISO, 2019. — 11 p.
- ↑ 3-1.a // Quantities and units—Part 3: Space and time — 1 — ISO, 2006. — 19 p.