Псевдосфера
Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення гіперболічної геометрії. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності гіперболічної геометрії. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою — у сфери поверхня має сталу додатну кривину.
У загальній інтерпретації, псевдосфера радіусу R — це будь-яка поверхня кривини −1/R2, за аналогією зі сферою радіусу R, для якої поверхня кривини є 1/R2.
Термін був запропонований Еудженіо Бельтрамі у його праці 1868 року про моделі гіперболічної геометрії.[1]
.jpg)
Форму псевдосфери мають деякі квіти, наприклад кали[2].
Зорові рецептори ока розташовані нерівномірно, у деяких випадках зручною моделлю є сітківка у формі псевдосфери (з рівномірним розподілом рецепторів)[3].
Структури у формі псевдосфер утворюються в деяких природних породах, наприклад в глині[4]
Термін також використовують до певної поверхні, яка має назву трактрисоїд і є результатом обертання трактриси довкола її асимптоти. Наприклад, напів-псевдосфера (з радіусом 1) є поверхнею обертання трактриси, обмеженої параметрами[5]:
Ще 1693 року Християн Гюйгенс з'ясував, що об'єм та площа поверхні псевдосфери є скінченними[6], незважаючи на нескінченність протяжності поверхні вздовж осі обертання. Для заданого радіусу R, площа поверхні буде 4πR2, так само як і для сфери, а об'єм дорівнює 2/3πR3, тобто половині сфери з таким самим радіусом[7][8].
- ↑ Beltrami, Eugenio (1868), Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea, Gior. Mat. (Italian) , 6: 248—312
(Також Beltrami, Eugenio, Opere Matematiche (Italian) , т. 1, с. 374—405, ISBN 1-4181-8434-9;
Beltrami, Eugenio (1869), Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne, Annales de l'École Normale Supérieure (French) , 6: 251—288) - ↑ Geometry, Analysis and Morphogenesis: Problems and Prospects(англ.)
- ↑ Human Eye Optics within a Non-Euclidian Geometrical Approach and Some Implications in Vision Prosthetics Design(англ.)
- ↑ Microscopic and mechanical properties of undisturbed and remoulded red clay from Guiyang, China(англ.)
- ↑ Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. с. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Chapter 5, page 108
- ↑ Mangasarian, Olvi L.; Pang, Jong-Shi (1999). Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1. Springer. с. 324. ISBN 0-7923-8480-6., Chapter 17, page 324
- ↑ Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (вид. 2). Courier Dover Publications. с. 154. ISBN 0-486-49579-5., Chapter 40, page 154
- ↑ Weisstein, Eric W. Pseudosphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)