Сингулярні міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії міри дві міри і визначені в одному вимірному просторі називаються взаємно сингулярними якщо для деякої вимірної множини її міра є рівною нулю і міра на її доповненні є рівною нулю.

Формальне означення

[ред. | ред. код]
Взаємно сингулярні міри

Нехай вимірний простір, а і — міри над цим простором. Ці міри називаються взаємно сингулярними, (позначається ) якщо існує розбиття X на дві непорожні множини із порожнім перетином для яких:

є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у а є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у

Узагальнення

[ред. | ред. код]

Очевидно, що у попередньому означенні достатньо вимагати щоб значення міри було нульовим для а значення міри нульовим на Проте у виді поданому вище його легко можна узагальнити на заряди, комплексні і векторні міри. Якщо ці структури є σ-адитивними і заданими на вимірному просторі, то у відповідному означенні достатньо замінити слово міра на заряд, комплексну чи векторну міру.

Еквівалентно у випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі можна сказати, що і є взаємно сингулярними, якщо їх повні варіації і є взаємно сингулярними як міри.

Якщо міра чи заряд є заданими лише на алгебрі множин або не є σ-адитивними іноді розглядається слабше поняття взаємної сингулярності: заряди (не обов'язково σ-адитивні ) і на просторі із алгеброю множин називають слабко взаємно сингулярними, якщо для довільного існують непорожні множини із порожнім перетином для яких і . Якщо два заряди є взаємно сингулярними то вони є і слабко взаємно сингулярними. У випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі ці два поняття є еквівалентними.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Дельта-функція Дірака, зосереджена у точці евклідового простору задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
  • Розподіл Кантора має неперервну (але не абсолютно неперервну) функцію розподілу (функцію Кантора). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна міра ймовірності є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є функції Мінковського і Салема. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини можна одержати за допомогою інтеграла Лебега — Стілтьєса, як Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо множина Кантора то і , а міра Лебега множини Кантора дорівнює нулю. Тоді і і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі.

Див.також

[ред. | ред. код]