Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теорема Барбашина-Красовського (також принцип інваріантності ЛаСаля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови стійкості в цілому нульового розв'язку системи рівнянь. Загальне твердження було незалежно доведене Н. Н. Красовським та Д. П. ЛаСалєм. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка

Стан системи у фазовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ (де $n\in \mathbb {N}$) в час $t\in \mathbb {R}$ даний точкою ${\vec {x}}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))$, де $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь ${\dot {\vec {x}}}(t)=f({\vec {x}}(t))$, де $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ неперервна функція, $f({\vec {x}}(t))={\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)$. Систему можна коротко записати як ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$. Припустимо що ${\vec {0}}\in \mathbb {R} ^{n}$ є точкою рівноваги системи, тобто $f({\vec {0}})={\vec {0}}$.

Теорема Барбашина-Красовського

Якщо існує додатно визначена нескінченно велика функція $V({\vec {x}})$ похідна від якої по часу ${\frac {dV}{dt}}$ вздовж траєкторій системи ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ є від'ємно-сталою (тобто ${\frac {dV}{dt}}\leq 0$ повсюди), причому рівність ${\frac {d}{dt}}V({\vec {x}})=0$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки ${\vec {x}}={\vec {0}}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля

Нехай $V({\vec {x}})$ скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

1. $V({\vec {x}})>0$ коли ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$,
2. ${\dot {V}}({\vec {x}})\leq 0$ повсюди,
3. $V({\vec {x}})\to \infty$ з тим як $||{\vec {x}}||\to \infty$.

Якщо рівність ${\dot {V}}({\vec {x}})\equiv \nabla V\cdot f({\vec {x}})=0$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки ${\vec {x}}={\vec {0}}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ стійкий в цілому.

Оригінальні статті

• (англ. ) LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (PDF)
• (рос. ) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952.
• (рос. ) Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959 (PDF)

Посилання

• (укр. ) Самойленко, А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах, Вища школа, Київ, 1994.
• (укр. ) М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості. PDF
• (англ. ) Лекції на тему аналізу нелінейних систем, Texas A&M University (PDF).

Див. також

• Функція Ляпунова