Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
Erud (обговорення | внесок) м перейменував «Нерівність Єнсена» на «Нерівність Йєнсена» |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Нерівність Йєнсена''' — зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та |
'''Нерівність Йєнсена''' — зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.<ref>{{cite journal|last=Jensen|first=J. L. W. V.|author=Johan Jensen|date=1906|title=Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes|journal=Acta Mathematica|volume=30|issue=1|pages=175–193|doi=10.1007/BF02418571}}</ref> |
||
== Дискретний випадок == |
== Дискретний випадок == |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math> |
:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math> |
||
Позначивши <math>\lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i}</math> отримаємо еквівалентне формулювання: |
|||
⚫ | |||
<math>f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),</math> |
|||
де: |
|||
<math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,</math> |
|||
⚫ | |||
* [[Нерівність Коші]], |
* [[Нерівність Коші]], |
||
* [[Нерівності про середнє]]. |
* [[Нерівності про середнє]]. |
||
== Імовірнісне формулювання == |
|||
Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — [[простір імовірностей]], і <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — визначена на ньому випадкова величина. |
|||
Нехай також <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — інтегровна [[опукла функція]]. |
|||
Тоді |
|||
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>, |
|||
Де <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> - [[математичне очікування]]. |
|||
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування. |
|||
Нехай додатково маємо <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math> - [[Сигма-алгебра|під-σ-алгебра]] [[Випадкова подія|подій]]. Тоді |
|||
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>, |
|||
де <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> позначає [[умовне математичне очікування]] відносно σ-алгебри <math>\mathcal{G}</math>. |
|||
== Доведення == |
|||
===Дискретний випадок=== |
|||
Якщо ''λ''<sub>1</sub> і ''λ''<sub>2</sub> - два довільні додатні дійсні числа, такі що: ''λ''<sub>1</sub> + ''λ''<sub>2</sub> = 1 тоді враховуючи [[опукла функція|опуклість]] <math>\scriptstyle\varphi</math> маємо |
|||
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.</math> |
|||
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub> є додатніми дійсними числами, такими що ''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ''<sub>''n''</sub> = 1, тоді |
|||
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math> |
|||
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>. |
|||
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущення індукції твердження справедливе для ''n'' = 2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n'' + 1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]: |
|||
:<math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math> |
|||
Оскільки <math>\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1</math>, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення [[математична індукція|індукції]], після чого отримуємо бажаний результат. |
|||
==Замітки== |
|||
<references/> |
|||
==Дивись також== |
==Дивись також== |
||
*[[Нерівність Гельдера]] |
*[[Нерівність Гельдера]] |
||
*[[Нерівність Мінковського]] |
*[[Нерівність Мінковського]] |
||
*[[Опукла функція]] |
|||
== Джерела == |
|||
{{Ізольована стаття}} |
|||
* {{cite book| |
|||
{{Q-delete|дублюється з [[Нерівність_Єнсена]]}} |
|||
title=Неравенства| |
|||
author=Э. Беккенбах, Р. Беллман| |
|||
year=1965| |
|||
publisher=Мир| |
|||
city=Москва| |
|||
}} |
|||
* {{cite book| |
|||
title=Курс дифференциального и интегрального исчисления| |
|||
author=Г.М. Фихтенгольц| |
|||
year=1969| |
|||
publisher=Наука| |
|||
city=Москва| |
|||
}} |
|||
[[Категорія:Нерівності]] |
|||
[[ar:متراجحة ينسن]] |
|||
[[bg:Неравенство на Йенсен]] |
|||
⚫ | |||
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
||
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
||
[[en:Jensen's inequality]] |
[[en:Jensen's inequality]] |
||
[[es:Desigualdad de Jensen]] |
|||
⚫ | |||
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
||
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
||
[[ |
[[it:Disuguaglianza di Jensen]] |
||
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
||
⚫ | |||
[[nl:Ongelijkheid van Jensen]] |
|||
[[pl:Nierówność Jensena]] |
[[pl:Nierówność Jensena]] |
||
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
||
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
||
⚫ | |||
[[sv:Jensens olikhet]] |
[[sv:Jensens olikhet]] |
||
[[ur:جینسن نامساوات]] |
|||
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
||
[[zh:延森不等式]] |
[[zh:延森不等式]] |
Версія за 13:16, 2 вересня 2010
Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]
Дискретний випадок
Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,...,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:
нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.
Частковим випадком є:
Позначивши отримаємо еквівалентне формулювання:
де:
За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:
Імовірнісне формулювання
Нехай — простір імовірностей, і — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також — інтегровна опукла функція. Тоді
- ,
Де - математичне очікування.
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
Нехай додатково маємо - під-σ-алгебра подій. Тоді
- ,
де позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри .
Доведення
Дискретний випадок
Якщо λ1 і λ2 - два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість маємо
Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, ..., λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + ... + λn = 1, тоді
для будь-яких x1, ..., xn.
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно припущення індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:
Оскільки , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.
Замітки
- ↑ Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica. 30 (1): 175—193. doi:10.1007/BF02418571.
{{cite journal}}
: Вказано більш, ніж один|author=
та|last=
(довідка)
Дивись також
Джерела
- Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Мир.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка) - Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка)