Абелеве розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі абелеве розширення полярозширення Галуа, для якого група Галуа є абелевою. Важливим частковим прикладом є циклічне розширення, для якого група Галуа є циклічною.

Наприклад розширення \Q [\sqrt 2] є абелевим. Його група Галуа складається з двох елементів і є абелевою. Нетривіальний автоморфізм переставляє місцями числа \sqrt 2 і - \sqrt 2.

Натомість розширення \Q [\sqrt[3]{2}, \sqrt 3 i] не є абелевим. Дане поле є полем розкладу многочлена x^3 - 2 і його автоморфізми, що фіксують \Q, переставляють різні корені цього многочлена. Тому група Галуа цього розширення є симетричною групою порядку 3 і не є абелевою.

Довільне скінченне розширення скінченного поля є циклічним розширенням. Важливим прикладом абелевого розширення є циклотомічні (кругові розширення), що одержуються приєднанням до поля коренів з одиниці. У випадку поля раціональних чисел, внаслідок такого розширення одержуються кругові поля. Згідно з теоремою Кронекера — Вебера довільне абелеве розширення раціональних чисел є підполем деякого кругового поля.

Якщо поле містить первісний корінь з одиниці степеня n, то розширення одержане приєднанням до нього кореня степеня n з деякого елемента (розширення Куммера) є абелевим розширенням. Для загального випадку це твердження не є вірним.

Посилання[ред.ред. код]