Корінь з одиниці

Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена $x^n-1 (n\geqslant 1)$. Іншими словами, це комплексне число $\ x$, для якого

$\ x^n = 1.$

Запис

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

$1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0$

Тоді за формулою Муавра

$(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.\,$

одержимо:

$u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1$

Тут $\ u_k$ — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

$u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1$

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна $n$, і всі вони різні.

Властивості

Геометричні властивості

• Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
• Якщо $\ u_k$ — корінь з одиниці, то спряжене до нього число $\overline {u_k}$ — теж корінь з одиниці.

Алгебраїчні властивості

• Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
• Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
• Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків $\Z_n$. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент $u_k$, індекс $k$ якого взаємно простий $n$.
  • Наслідки:
  • елемент $u_1$ завжди є первісним;
  • якщо $n$ — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім $\pm 1$, охоплюють всю групу;
  • число первісних коренів рівне $\varphi (n)$, де $\varphi$ — функція Ейлера.
• Якщо $n > 1$, то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці $u$ має місце формула:

$\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .$

Приклади

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

$\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

Корені 4-го степеня з одиниці:

$\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\}$

Для коренів 5-го ступеня є 4 що первісні елементи:

$\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.$

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

$\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .$

Див. також

• Многочлен поділу кола
• Кругове поле

Джерела

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Milne, James S. (1998). «Algebraic Number Theory». Course Notes.