Корінь з одиниці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

Корінь n-го степеня з одиницікомплексний корінь многочлена x^n-1 (n\geqslant 1). Іншими словами, це комплексне число \ x, для якого

\ x^n = 1.

Запис[ред.ред. код]

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0

Тоді за формулою Муавра

(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.\,

одержимо:

u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Тут \ u_k — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна n, і всі вони різні.

Властивості[ред.ред. код]

Геометричні властивості[ред.ред. код]

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

  • Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
  • Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
  • Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків \Z_n. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент u_k, індекс k якого взаємно простий n.
  • Якщо n > 1, то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці u має місце формула:
\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .

Приклади[ред.ред. код]

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}

Корені 4-го степеня з одиниці:

\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\}

Для коренів 5-го ступеня є 4 що первісні елементи:

\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]