Алгебраїчне розширення

Алгебраїчне розширення — розширення поля $\ L / K$, кожен елемент $\ \alpha$ якого є алгебраїчним над $\ K$, тобто існує многочлен $\ f(x)$ з коефіцієнтами з $\ K$ для якого $\ \alpha$ є коренем.

Розширення, що не є алгебраїчними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості

• Всі скінченні розширення алгебраїчні.

Для всіх трансцендентних елементів $\ \alpha,$ елементи $\ 1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots$ є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.

• Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо розширення F / L та L / K є алгебраїчні, то і розширення F / K алгебраїчне. Навпаки, якщо F / K алгебраїчне, то і L/ K та F/ L алгебраїчні.

Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a₁…a_n з L. Оскільки всі ці a_i алгебраїчні над K, то розширення K(a₁,…a_n) є скінченним над K, а оскільки α алгебраїчне над L=K(a₁,…a_n) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебраїчний над K. Зворотне твердження очевидне.

• Якщо α і β алгебраїчні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебраїчне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебраїчні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K^* ⊆ L, — алгебраїчні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K^* алгебраїчно замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел $\Q$, а за L алгебраїчно замкнуте поле комплексних чисел $\C$, то одержимо поле алгебраїчних чисел A.

• Якщо L/ K алгебраїчне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебраїчним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади

• Розширення $\R/\Q$, тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебраїчних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум.
• Розширення $\C/\R$ є алгебраїчним розширенням.

Див. також

• Степінь трансцендентності

Література

• ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — С. 623. — Москва : Наука, 1975. ISBN 5-8114-0552-9.
• Ленг С. Алгебра. — С. 564. — Москва : Мир, 1968.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. том I. — С. 373. — Москва : ИЛ, 1963.
• J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: Springer, 2006, ISBN 1852339861 .