Алгебраїчні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчні числа, також алгебричні числапідмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число \alpha \in \C є алгебраїчним якщо існує многочлен

\ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

де a_k \in \Q і f(α) = 0.

У даному визначенні можна було вимагати щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена f(x) \in \Z[x] зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади[ред.ред. код]

  • Всі раціональні числа є алгебраїчними: число \left (\frac{a}{b} \right) є, наприклад, коренем рівняння b x - a = 0.
  • Уявна одиниця, число i = \sqrt {-1} є алгебраїчним, як корінь рівняння x2 + 1 = 0.
  • Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
  • Якщо \alpha \neq 0, 1, \, \beta \notin \Q — алгебраїчні числа, тоді \alpha^{\beta} — трансцендентне число.
  • Числа \cos (1^\circ) і ~ \sin (1^\circ) є алгебраїчними.
Цей факт випливає з тригонометричної рівності:
\cos ((n+1)\theta) = 2 \cos (n \theta) \cos \theta - \cos ((n-1)\theta)\,
Тому якщо визначити послідовність многочленів:
g_{n+1}(x) = 2g_n (x) - g_{n-1}(x),\,
то \cos (m \theta) = g_m (\cos \theta), m \in \N. Звідси одержуємо:
0 = \cos (90 \cdot 1^\circ) = g_{90} (\cos 1^\circ), тобто \cos (1^\circ) є коренем многочлена g_{90}(x), що й доводить твердження.
Для ~ \sin (1^\circ) достатньо зазначити, що всі степені x в g_{90}(x) є парними і що \cos (1^\circ) = \sqrt {1 - \sin ^2 (1^\circ)}.

Мінімальний многочлен[ред.ред. код]

Якщо \alpha — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких \alpha є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним 1. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа \alpha.

  • Степінь мінімального многочлена \alpha називається степенем алгебраїчного числа \alpha.
  • Інші корені мінімального многочлена \alpha називаються спряженими до \alpha.
  • Висотою алгебраїчного числа \alpha називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого \alpha є коренем.

Мінімальний многолен числа \alpha має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли \alpha — ціле алгебраїчне число.

Приклади[ред.ред. код]

  • Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
  • Уявна одиниця i так само як \sqrt2 є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно \ -i та -\sqrt 2.
  • При будь-якому натуральному n, \sqrt[n]2 є алгебраїчним числом n-го степеня.

Поле алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α−1, а також сума α + β і добуток αβ також є алгебраїчними числами.

Доведення[ред.ред. код]

  • Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо f(x) — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена f(−x). Тобто -α — алгебраїчне число.
  • Якщо α — корінь многочлена f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \in \Z[x], то α-1 є коренем многочлена g(x) = \sum_{k=0}^n a_{n-k} x^k \in \Z[x], отже α-1 теж є алгебраїчним числом.
  • Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена f(x) \in \Z[x] і β є коренем многочлена g(x) \in \Z[x]. Нехай α1= α, α2, ..., αn — всі корені f(x) (враховуючи їх кратність, так що степінь f(x) рівний n) і нехай β1= β, β2, ..., βm — всі корені g(x). Розглянемо многочлен:
F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i + \beta_j)).
Множина R = \Z[\beta_1, \ldots, \beta_m] є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти F(x) є симетричними многочленами від чисел α1= α, α2, ..., αn. Тому якщо, σ1, σ2, ..., σnелементарні симетричні многочлени від α1= α, α2, ..., αn і A — деякий коефіцієнт (при xk) многочлена F(x), тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ1, σ2, ..., σn, β1, β2, ..., βm) для деякого многочлена B з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти F(x) також є симетричними многочленами від чисел β1, β2, ..., βm. Нехай R = \Z[\sigma_1, \ldots, \sigma_n] і σ1', σ2', ..., σm' — елементарні симетричні многочлени від β1= β, β2, ..., βm тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm') для деякого многочлена B' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому F(x) \in \Q[x] і оскільки α + β є коренем F(x) це число є алгебраїчним.
  • Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:
F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i \beta_j)).

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
  • Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
  • Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
  • Для довільного алгебраїчного числа \alpha існує таке натуральне N, що N\alphaціле алгебраїчне число.
  • Алгебраїчне число \alpha степеня n має n різних спряжених чисел (включаючи саме число \alpha ).
  • \alpha і \beta спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля \mathbb{A}, що переводить \alpha у \beta.
  • В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
    • Теорема Ліувіля: якщо \alpha \in \Q є коренем многочлена f(x) \in \Z[x] степінь якого рівний n, тоді існує число A залежне від α, що
\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | > \left (\frac{A}{b^n} \right), для довільного раціонального числа \left (\frac{a}{b} \right).
    • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо \alpha \in \Q є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел (a, b) де b > 0 для яких:
\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | < \left (\frac{1}{b^{(2 + \varepsilon)}} \right).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • К. Айерлэнд, М. Роузен (1987). Классическое введение в современную теорию чисел. Москва: Мир. с. 416. 
  • Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
  • Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
  • Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
  • Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність