Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певної степені з раціональними коефіцієнтами. Тобто число $\alpha \in \C$ є алгебраїчним якщо існує многочлен

$\ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

де $a_k \in \Q$ і f(α) = 0.

У даному визначенні можна було вимагати щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена $f(x) \in \Z[x]$ із старшим коефіцієнтом рівним одиниці то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади

• Всі раціональні числа є алгебраїчними: число $\left (\frac{a}{b} \right)$ є, наприклад, коренем рівняння b x - a = 0.
• Уявна одиниця, число $i = \sqrt {-1}$ є алгебраїчним, як корінь рівняння x² + 1 = 0.
• Числа e, π, e^π є трансцендентними. Статус числа π^e невідомий.
• Якщо $\alpha \neq 0, 1, \, \beta \notin \Q$ — алгебраїчні числа, тоді $\alpha^{\beta}$ — трансцендентне число.
• Числа $\cos (1^\circ)$ і $~ \sin (1^\circ)$ є алгебраїчними.

Даний факт випливає з тригонометричної рівності:

$\cos ((n+1)\theta) = 2 \cos (n \theta) \cos \theta - \cos ((n-1)\theta)\,$

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

$g_{n+1}(x) = 2g_n (x) - g_{n-1}(x),\,$

то $\cos (m \theta) = g_m (\cos \theta), m \in \N.$ Звідси одержуємо:

$0 = \cos (90 \cdot 1^\circ) = g_{90} (\cos 1^\circ),$ тобто $\cos (1^\circ)$ є коренем многочлена $g_{90}(x),$ що й доводить твердження.

Для $~ \sin (1^\circ)$ достатньо зазначити, що всі степені x в $g_{90}(x)$ є парними і що $\cos (1^\circ) = \sqrt {1 - \sin ^2 (1^\circ)}.$

Мінімальний многочлен

Якщо $\alpha$ — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких $\alpha$ є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним $1$. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа $\alpha$.

• Степінь мінімального многочлена $\alpha$ називається степенем алгебраїчного числа $\alpha$.
• Інші корені мінімального многочлена $\alpha$ називаються спряженими до $\alpha$.
• Висотою алгебраїчного числа $\alpha$ називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого $\alpha$ є коренем.

Мінімальний многолен числа $\alpha$ має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли $\alpha$ — ціле алгебраїчне число.

Приклади

• Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
• Уявна одиниця $i$ так само як $\sqrt2$ є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно $\ -i$ та $-\sqrt 2$.
• При будь-якому натуральному $n$, $\sqrt[n]2$ є алгебраїчним числом $n$-го степеня.

Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α^-1, а також сума α + β і добуток αβ також є алгебраїчними числами.

Доведення

• Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо f(x) — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена f(−x). Тобто -α — алгебраїчне число.

• Якщо α — корінь многочлена $f(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^k \in \Z[x],$ то α^-1 є коренем многочлена $g(x) = \sum_{k=1}^n a_{n-k} x^k \in \Z[x],$ отже α^-1 теж є алгебраїчним числом.

• Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена $f(x) \in \Z[x]$ і β є коренем многочлена $g(x) \in \Z[x]$. Нехай α₁= α, α₂, ..., α_n — всі корені f(x) (враховуючи їх кратність, так що степінь f(x) рівний n) і нехай β₁= β, β₂, ..., β_m — всі корені g(x). Розглянемо многочлен:

$F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i + \beta_j)).$

Множина $R = \Z[\beta_1, \ldots, \beta_m]$ є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти F(x) є симетричними многочленами від чисел α₁= α, α₂, ..., α_n. Тому якщо, σ₁, σ₂, ..., σ_n — елементарні симетричні многочлени від α₁= α, α₂, ..., α_n і A — деякий коефіцієнт (при x^k) многочлена F(x), тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ₁, σ₂, ..., σ_n, β₁, β₂, ..., β_m) для деякого многочлена B з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти F(x) також є симетричними многочленами від чисел β₁, β₂, ..., β_m. Нехай $R = \Z[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]$ і σ₁', σ₂', ..., σ_m' — елементарні симетричні многочлени від β₁= β, β₂, ..., β_m тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ₁, σ₂, ..., σ_n, σ₁', σ₂', ..., σ_m') для деякого многочлена B' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ₁, σ₂, ..., σ_n, σ₁', σ₂', ..., σ_m' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому $F(x) \in \Q[x]$ і оскільки α + β є коренем F(x) це число є алгебраїчним.

• Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:

$F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i \beta_j)).$

Властивості

• Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
• Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
• Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
• Для довільного алгебраїчного числа $\alpha$ існує таке натуральне $N$, що $N\alpha$ — ціле алгебраїчне число.
• Алгебраїчне число $\alpha$ степеня $n$ має $n$ різних спряжених чисел (включаючи саме число $\alpha$ ).
• $\alpha$ і $\beta$ спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля $\mathbb{A}$, що переводить $\alpha$ у $\beta$.
• В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
  • Теорема Ліувіля: якщо $\alpha \in \Q$ є коренем многочлена $f(x) \in \Z[x]$ степінь якого рівний n, тоді існує число A залежне від α, що

$\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | > \left (\frac{A}{b^n} \right),$ для довільного раціонального числа $\left (\frac{a}{b} \right).$

• • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо $\alpha \in \Q$ є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел (a, b) де b > 0 для яких:

$\left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | < \left (\frac{1}{b^{(2 + \varepsilon)}} \right).$

Див. також

• Ціле алгебраїчне число
• Алгебраїчне розширення

Посилання

• Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах // Конспект курсу лекцій.
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes

Література

• К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел. — С. 416. — Москва : Мир, 1987.
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
• Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
• Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X