Ріманова поверхня

Ріманова поверхня ƒ(z) = √z

Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.

Визначення

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами $(U_\alpha)_{\alpha \in A}$ причому кожній множині $\ U_\alpha$ відповідає гомеоморфне відображення $\varphi_\alpha$ із множини $\ U_\alpha$ у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин $\ U_{\alpha} \cap U_{\beta}$ є непустою множиною, то функція:

$\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}), \quad \varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.$

є голоморфною. Множина $(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha \in A}$ при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

Приклади

Сфера Рімана.

• Комплексна площина $\C$ є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення $\varphi (z) = z$ визначає карту на множині $\C$, і $\C, \varphi$ є необхідним атласом. Відображення $\varphi (z) = \overline{z}$ (комплексне спряження) також визначає атлас на $\C$. Дані атласи не є еквівалентними.

• Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.

• Нехай $\widehat{\C} = \C \cup \{ \infty \}, \; \varphi_1 (z) = z$ де $z \in \widehat{\C} \setminus \{ \infty \}$ і $\varphi_2 (z) = \frac{1}{z}$ де $z \in \widehat{\C} \setminus \{0\}$. Тоді $\varphi_1, \varphi_2$ із своїми областями визначення визначають атлас. Множина $\widehat{\C}$ з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.

Тор

• Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад тор $\C / (\Z \oplus \tau Z''')$, де τ комплексне число, що не є дійсним, відповідає через еліптичну функцію Вейєрштрасса деякій еліптичній кривій.
• Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають аналітичні продовження.

• 

  $f(z)=\arcsin z,\!$

• 

  $f(z)=\log z,\!$

• 

  $f(z)=z^{\frac{1}{2}}$

• 

  $f(z)=z^{\frac{1}{3}}$

• 

  $f(z)=z^{\frac{1}{4}}$

Див. також

• Диференціал Абеля
• Многовид
• Теорема Рімана — Роха

Література

• Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8