Ріманова поверхня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ріманова поверхня ƒ(z) = √z

Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.

Визначення[ред.ред. код]

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами (U_\alpha)_{\alpha \in A} причому кожній множині \ U_\alpha відповідає гомеоморфне відображення \varphi_\alpha із множини \ U_\alpha у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин \ U_{\alpha} \cap U_{\beta} є непустою множиною, то функція:

\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}), \quad \varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.

є голоморфною. Множина (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha \in A} при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

Приклади[ред.ред. код]

Сфера Рімана.
  • Комплексна площина \C є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення \varphi (z) = z визначає карту на множині \C, і \C, \varphi є необхідним атласом. Відображення \varphi (z) = \overline{z} (комплексне спряження) також визначає атлас на \C. Дані атласи не є еквівалентними.
  • Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.
  • Нехай \widehat{\C} = \C \cup \{ \infty \}, \; \varphi_1 (z) = z де z \in \widehat{\C} \setminus \{ \infty \} і \varphi_2 (z) = \frac{1}{z} де z \in \widehat{\C} \setminus \{0\}. Тоді \varphi_1, \varphi_2 із своїми областями визначення визначають атлас. Множина \widehat{\C} з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.
Тор

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
  • Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8