Бігармонічна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Бігармонічна функціяфункція f(x) = f(x_1,\dots,x_n) дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору \R^n,\, n \geq 2, що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню:

\nabla^4f= \Delta^2 f = 0

де \nablaоператор набла, \Delta\,оператор Лапласа.

Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд:

\frac{\partial^4 f}{ \partial x^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial y^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial z^4 }+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial y^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial y^2\partial z^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial z^2} = 0.

В полярних координатах:

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\right) + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^2 \partial r^2} + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^4} - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 f}{\partial \theta^2 \partial r} + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0.

Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат xi.

Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції f(x_1,x_2) двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f1, f2 або g1, g2 у вигляді

f(x_1,x_2) = x_1 f_1(x_1,x_2) + f_2(x_1,x_2)\,

або

f(x_1,x_2) = (r^2 - r_0^2) g_1(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)\,

де r^2=x_1^2 + x_2^2, а r_0^2 — константа.

Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області \bar D = D \cup C , що задовольняє на границі C умовам

f |_C = f_1(s), \quad \frac{\partial f}{\partial \nu} \Bigg|_C = f_2(s)

де \frac{\partial f}{\partial \nu} — похідна по нормалі до C, f1(s), f2(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C.

Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій.

Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис

f(x_1,x_2) =  \operatorname{Re}(\bar z \phi(z) + \psi(z)) = \frac{1}{2} ( \bar z \phi(z) + z\overline { \phi(z)} + \psi(z) + \overline {\psi(z)}), \quad \bar z = x_1 - ix_2

за допомогою двох аналітичних функцій \phi(z), \psi(z) комплексної змінної z = x_1 + ix_2. Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
  • Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.