Вільний добуток

У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології.

Означення[ред. | ред. код]

Вільним добутком множини груп $G_{i},\;i\in I$ , називається група $G$ , породжена елементами груп $G_{i}$ .

Кожен елемент вільного добутку $G$ , що не дорівнює одиниці єдиним чином можна записати у вигляді нескоротного слова $g_{i_{1}}g_{i_{2}}\cdots g_{i_{k}}$ , де кожен елемент $g_{i_{j}}$ є неодиничним елементом деякої групи $G_{i}$ і два сусідні елементи в слові належать різним групам. Добутком при цьому є слово, що отримується внаслідок конкатенації двох слів і подальшого зведення. Зведення полягає в тому, що якщо в слові зустрічаються підряд два елемента, що належать одній групі $g_{1},g_{2}\in G_{i}$ то вони заміняються своїм добутком у групі якій вони належать. Якщо добутком є одиничний елемент то його треба вилучити. Одиницею в групі можна вважати пусту стрічку.

Для позначення вільного добутку використовується знак $*$ , наприклад $G=\coprod _{i\in I}*G_{i}$ або $G=G_{1}*G_{2}*\ldots *G_{n}$ для скінченної множини $I$ .

Нехай $G,H$ - групи. Розгляньмо множину ${\overline {G*H}}$ , яка складається з ланцюжків (слів) вигляду $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n},$ де $g_{i}\in G,\,\,h_{i}\in H.$ Розгляньмо відношення еквівалентності, породжене співвідношеннями

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n},$

якщо $h_{i}=1,$ та

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}h_{i+1}g_{i+2}...g_{n}h_{n},$

якщо $g_{i+1}=1.$ Іншими словами, у кожному слові усі комбінації виду $g_{1}1g_{2}$ можна замінити на $g_{1}g_{2},$ a $h_{1}1h_{2}$ на $h_{1}h_{2}.$ Множина класів еквівалентності позначається $G*H.$ Слова можна множити:

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}\cdot g_{1}'h_{1}'g_{2}'h_{2}'...g_{n'}'h_{n'}':=g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}g_{1}'h_{1}'g_{2}'h_{2}'...g_{n'}'h_{n'}'.$

Такий добуток є асоціативним. Таким чином,

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}h_{n}^{-1}g_{n}^{-1}...h_{2}^{-1}g_{2}^{-1}h_{1}^{-1}g_{1}^{-1}=1,$

відповідно, $G*H$ - це група. Група $G*H$ є вільним добутком (амальгамою, або кодобутком) груп $G,H.$

Нехай тепер ${\overline {\coprod _{i}G_{\alpha }}},\,\,\alpha \in I,$ складається із слів вигляду $g_{1}g_{2}g_{3}...g_{n},$ складених з букв $g_{i}\in G_{\alpha _{i}}$ . Відношення еквівалентності, породжене даними відношеннями

$g_{1}g_{2}...g_{i}g_{i+1}g_{i+2}...g_{n}\sim g_{1}g_{2}...g_{i}g_{i+2}...g_{n},$

якщо $g_{i}=1$ (можна викинути із слова букву $g_{i+1},$ якщо $g_{i+1}=1$ ), та

$g_{1}g_{2}...g_{i-1}g_{i}g_{i+1}g_{i+2}...g_{n}\sim g_{1}g_{2}...g_{i-1}(g_{i}g_{i+1})g_{i+2}....g_{n},$

якщо $g_{i},g_{i+1}\in G_{\alpha }$ (можна згрупувати послідовно розташовані букви $g_{i},g_{i+1}$ у $(g_{i}g_{i+1}),$ якщо вони обидві належать одній і тій самій групі $G_{\alpha }$ ).

Добуток на зворотний елемент у

$\coprod _{\alpha }G_{\alpha }:={\overline {\coprod _{\alpha }G_{\alpha }}}/\sim$

визначаються тими самими формулами, що й для $G*H$ . ^[1]

За допомогою задання груп[ред. | ред. код]

Конструкція вільного добутку є важливою у вивченні груп, заданих множиною породжуючих елементів і визначальних співвідношень. У цих термінах вільний добуток може бути визначений в такий спосіб.

Нехай кожна група $G_{i}$ задана множинами $R_{G_{i}}$ породжуючих елементів і $S_{G_{i}}$ визначальних співвідношень $G_{i}=\langle R_{G_{i}}\mid S_{G_{i}}\rangle .$ Нехай також $R_{G_{i}}\cap R_{G_{j}}=\emptyset ,\;i\neq j.$

Тоді вільний добуток цих груп може бути заданий як $G=\langle \cup _{i\in I}R_{G_{i}}\mid \cup _{i\in I}S_{G_{i}}\rangle$ тобто множинами породжуючих елементів і визначальних співвідношень є об'єднанням відповідних множин добутків.

Приклади[ред. | ред. код]

Якщо G є циклічною групою порядку 4,

G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,

і H є циклічною групою порядку 5

H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .

Тоді група G ∗ H є нескінченною групою заданою як

G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .

Оскільки у вільній групі немає визначальних співвідношень, то вільний добуток довільної множини вільних груп теж є вільною групою. Зокрема,

F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},

де F_n позначає вільну групу з n породжуючими елементами.

Модулярна група $PSL_{2}(\mathbf {Z} )$ є ізоморфною вільному добутку двох циклічних груп:

PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2)\ast (\mathbf {Z} /3).

Вільний добуток $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$ є ізоморфним нескінченній групі діедра $D_{\infty }$ .

Властивості[ред. | ред. код]

Будь-яка сім'я гомоморфізмів $\{\varphi _{i}:G_{i}\to H\}_{i\in I}$ груп $G_{i}$ в будь-яку групу $H$ однозначно продовжується до гомоморфізму $\varphi :G\to H$ для якого $\varphi \circ h_{i}=\varphi _{i},$ де $h_{i}:G_{i}\to G$ позначає вкладення підгрупи $G_{i}$ в групу $G$ . Дана властивість є універсальною: якщо для деякої групи $G$ і множини її підгруп $G_{i}$ виконується дана властивість, то група $G$ є вільним добутком множини груп $G_{i}$ .

Будь-яка підгрупа вільного добутку $G$ сама розкладається у вільний добуток своїх підгруп, з яких деякі є нескінченними циклічними, а кожна з інших є спряженою з деякою підгрупою якої-небудь групи $G_{i}$ , що входить у вільний розклад групи $G$ . Дане твердження називається теоремою Куроша.