Диференційовний многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові інфінітезімальні структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай Xгаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки x \in X знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору \R^n, то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара (U, \phi)\,, де \phi\, — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел (x^1, \ldots, x^n), що називаються координатами в карті (U, \phi). Множина карт \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A, називається n-вимірним C^k-атласом (0 \leqslant k \leqslant \infty, a) многовиду X, якщо:

  • сукупність всіх U_\alpha покриває X, X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha
  • для будь-яких \alpha, \beta \in A таких, що U_\alpha \cup U_\beta \neq \varnothing, відображення:
\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)

є диференційовним класу C^k; \phi\, є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти (U_\alpha, \phi_\alpha)\, в карту (U_\beta, \phi_\beta)\,.

Два C^k-атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є C^k-атласом. Сукупність C^k-атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються C^k-структурами, при 1 \leqslant k \leqslant \infty — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений C^k-структурою називається C^k-многовидом, або диференційовним многовидом класу C^k.

Комплексні многовиди[ред.ред. код]

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору \R^n загальніших просторів \C^n або навіть K^n\,, де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку K = \C відповідна C^k-структура, k \geqslant 1, неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури[ред.ред. код]

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею C^\infty-структура, і на C^k-многовиді, 0 \leqslant k \leqslant \infty, — C^r-структура, якщо 0 \leqslant r \leqslant k. Навпаки, будь-який паракомпактний C^r-многовид, r \geqslant 1, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що C^0-многовид не можна наділити C^1-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) C^1-неізоморфних C^\infty-структур на n-вимірній сфері рівно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
θ(n) 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Відображення[ред.ред. код]

Нехай f : X \to Yнеперервне відображення C^r-многовидів X, Y; воно називається C^k-морфізмом (або C^k-відображенням, k \leqslant r, або відображенням класу C^k) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт (U_\alpha, \phi_\alpha)\, на X і (V_\beta, \psi_\beta)\, на Y такої, що f(U_\alpha) \subset V_\beta і відображення:

\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)

належить класу C^k. Бієктивне відображення f таке, що воно і f-1 є C^k-відображеннями, називається C^k-ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх C^r-структури називаються C^k-ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення[ред.ред. код]

Підпростір Y n-вимірного C^k-многовиду X називається C^k- підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки y \in Y існують її окіл V \subset Y і карта (U, \phi)\, C^k-структури X такі, що V \subset Y і \phi індукує гомеоморфізм V на перетин \phi (U \cap Y) з (замкнутим) підпростором \R^m \subset \R^n; іншими словами, існує карта з координатами (x^1, \ldots, x^n) така, що (U \cap Y) визначається співвідношеннями x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0.

Відображення f : X \to Y називається C^k-вкладенням якщо f(X) є C^k-підмноговидом в Y, а X \to f(X)C^k-дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний C^k-многовид допускає вкладення в \R^{2n + 1} і навіть в \R^{2n}. Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень C^k(X,\R^{2n+1}) щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
  • Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
  • де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
  • Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
  • Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
  • Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
  • Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
  • Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;