Диференційовний многовид

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові інфінітезімальні структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення

Нехай X — гаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки $x \in X$ знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору $\R^n$, то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара $(U, \phi)\,$, де $\phi\,$ — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел $(x^1, \ldots, x^n)$, що називаються координатами в карті $(U, \phi)$. Множина карт $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,$ називається n-вимірним $C^k$-атласом $(0 \leqslant k \leqslant \infty, a)$ многовиду X, якщо:

• сукупність всіх $U_\alpha$ покриває X, $X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha$
• для будь-яких $\alpha, \beta \in A$ таких, що $U_\alpha \cup U_\beta \neq \varnothing$, відображення:

$\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$

є диференційовним класу $C^k$; $\phi\,$ є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти $(U_\alpha, \phi_\alpha)\,$ в карту $(U_\beta, \phi_\beta)\,.$

Два $C^k$-атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є $C^k$-атласом. Сукупність $C^k$-атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються $C^k$-структурами, при $1 \leqslant k \leqslant \infty$ — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений $C^k$-структурою називається $C^k$-многовидом, або диференційовним многовидом класу $C^k$.

Комплексні многовиди

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору $\R^n$ загальніших просторів $\C^n$ або навіть $K^n\,$, де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку $K = \C$ відповідна $C^k$-структура, $k \geqslant 1$, неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею $C^\infty$-структура, і на $C^k$-многовиді, $0 \leqslant k \leqslant \infty$, — $C^r$-структура, якщо $0 \leqslant r \leqslant k$. Навпаки, будь-який паракомпактний $C^r$-многовид, $r \geqslant 1$, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що $C^0$-многовид не можна наділити $C^1$-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) $C^1$-неізоморфних $C^\infty$-структур на n-вимірній сфері рівно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Відображення

Нехай $f : X \to Y$ — неперервне відображення $C^r$-многовидів X, Y; воно називається $C^k$-морфізмом (або $C^k$-відображенням, $k \leqslant r$, або відображенням класу $C^k$) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт $(U_\alpha, \phi_\alpha)\,$ на X і $(V_\beta, \psi_\beta)\,$ на Y такої, що $f(U_\alpha) \subset V_\beta$ і відображення:

$\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)$

належить класу $C^k$. Бієктивне відображення f таке, що воно і f^-1 є $C^k$-відображеннями, називається $C^k$-ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх $C^r$-структури називаються $C^k$-ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення

Підпростір Y n-вимірного $C^k$-многовиду X називається $C^k$- підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки $y \in Y$ існують її окіл $V \subset Y$ і карта $(U, \phi)\,$ $C^k$-структури X такі, що $V \subset Y$ і $\phi$ індукує гомеоморфізм V на перетин $\phi (U \cap Y)$ з (замкнутим) підпростором $\R^m \subset \R^n$; іншими словами, існує карта з координатами $(x^1, \ldots, x^n)$ така, що $(U \cap Y)$ визначається співвідношеннями $x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0$.

Відображення $f : X \to Y$ називається $C^k$-вкладенням якщо f(X) є $C^k$-підмноговидом в Y, а $X \to f(X)$ — $C^k$-дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний $C^k$-многовид допускає вкладення в $\R^{2n + 1}$ і навіть в $\R^{2n}.$ Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень $C^k(X,\R^{2n+1})$ щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також

• Многовид
• Атлас (математика)
• Дифеоморфізм

Посилання

• О.Пришляк Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2004. – 68 с.

Література

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;