Користувач:Sawarad/Розподіл ступеня

Наука про мережі
Теорія
Граф Складні мережі Світ тісний Безмасштабна мережа Перколяція Структура спільноти Еволюція Керованість Візуалізація графів Соціальний капітал Аналіз зв’язків Оптимізація Транзитивність Теорія балансу Ефект мережі Соціальний вплив
Види мереж
Інформаційна (комп'ютерна) Телекомунікаційна Транспортна Соціальна аналіз Біологічна Штучна нейронна мережа Семантична Просторова Залежностей Потокова
Графи
Властивості Кліка Компонент Розріз Цикл Структура даних Ребро Петля Окіл Шлях Вершина Список суміжності / матриця Список інцидентності / матриця Види Двочастковий Повний Орієнтований Гіперграф Мультиграф Випадковий Зважений
Метрики Алгоритми
Центральність Степінь Близькість PageRank Кластеризація Асортативність Відстань Модулярність Ефективність
Моделі
Топологія Випадковий граф Модель Ердеша — Реньї Модель Барабаші — Альберт Модель Воттса — Строгаца Гіперболічна (HGN) Ієрархічна Стохастична блокова модель Динаміка Булева мережа Агентне моделювання Епідемічні/SIR
Списки Категорії
Категорія:Теорія мереж Категорія:Теорія графів

При дослідженні графів та мереж ступінь вузла в мережі — це кількість зв’язків з іншими вузлами, а розподіл ступенів — це розподіл ймовірностей цих ступенів по всій мережі.

Визначення

Ступінь вузла в мережі (іноді неправильно згадується як зв'язність) — це кількість з'єднань або ребер вузла з іншими вузлами. Якщо мережа орієнтована, що позначає, що якщо ребра вказують у напрямку з одного вузла до іншого, то вузли мають два різних ступені: вхідний ступінь, що дорівнює кількості вхідних ребер, та вихідний ступінь, що дорівнює кількості вихідних ребер.

Розподіл ступенів P(k) мережі визначається як відношення кількості вузлів у мережі зі ступенем k до кількості всіх вузлів у цій мережі. Таким чином, якщо мережа складається з n вузлів і n_k з них мають ступінь k, то маємо $P(k)={\frac {n_{k}}{n}}$ .

Ця інформація іноді представлена у вигляді кумулятивного розподілу ступенів, частки вузлів зі ступенем, меншим за k, або навіть додаткового кумулятивного розподілу ступенів, частки вузлів зі ступенем який більший або дорівнює до k, що позначається як (1 - C), якщо розглядати C як сукупний розподіл ступенів; тобто доповнення до C .

Спостережувані розподіли ступенів

Розподіл ступенів є дуже важливим при вивченні як реальних мереж, таких як Інтернет та соціальні мережі, так і теоретичних мереж. Найпростіша модель мережі — випадковий граф (модель Ердеша — Реньї), в якому кожен з n вузлів може бути незалежно пов’язаним (або ні) з ймовірністю p (або 1 − p), має біноміальний розподіл ступенів k :

$P(k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k},$

(або Пуассона в межах великого n, якщо середній ступінь $\langle k\rangle =p(n-1)$ є фіксованим). Однак більшість реальних мереж мають розподіл ступенів, що дуже відрізняються. Більшість із них мають значне відхиленна праворуч, що позначає, що більша кількість вузлів мають низький ступінь, та лише невелика кількість, відома як «хаби», мають високий ступінь. Стверджувалося, що певні мережі, зокрема Інтернет, Всесвітня мережа та деякі соціальні мережі, мають розподіл ступенів, які приблизно відповідають степеневому закону: $P(k)\sim k^{-\gamma }$, де γ — константа. Такі мережі називаються безмасштабними мережами та вони привертають особливу увагу своїми структурними та динамічними властивостями. Однак дослідження широкого кола реальних мереж показує, що безмасштабні мережі, якщо їх оцінювати за допомогою точних статистичних показників зустрічаються рідко. Деякі дослідники заперечують ці висновки, стверджуючи, що визначення, які було використано у дослідженні, є невідповідно жорсткими, в той час як інші стверджують, що точна функціональна форма розподілу ступенів менш важлива, ніж знання того, чи є розподіл ступенів розподілом з товстим хвостом чи ні. Надмірну інтерпретацію конкретних форм розподілу ступенів також критикували за те, що вона не врахувувала, як мережі можуть розвиватися з часом.

Надмірний розподіл ступенів

Надмірний розподіл ступенів — це розподіл ймовірностей для вузла, досягнутого за ребром, кількості інших ребер, якi ведуть до цього вузла. Іншими словами, це розподіл вихідних зв'язкiв вузла, досягнутого за зв'язком.

Припустимо, що мережа має розподіл ступенів $P(k)$, після вибору вузла (випадково чи ні) і переходу до одного з його сусідів (припускаючи, що він має принаймні одного сусіда), ймовірність того, що цей вузол матиме $k$ сусідам не задається $P(k)$. Причиною цього є те, що кожен раз, коли якийсь вузол вибирається в гетерогенній мережі, більш ймовірно досягти хаб, дотримуючись одного з існуючих сусідів цього вузла. Істинна ймовірність того, що такі вузли мають ступінь $k$ є $q(k)$ яка називається надмірним ступенем цього вузла. У моделі конфігурації, кореляції між вузлами якої проігноровані і кожен вузол є з'єднаним з будь-якими іншими вузлами мережі з однаковою імовірністю, надмірний розподіл ступенів можна знайти як:

$q(k)={\frac {k+1}{\langle k\rangle }}P(k+1),$

де ${\langle k\rangle }$ – середній ступінь моделі. Звідси випливає, що середній ступінь сусіда будь-якого вузла більший за середній ступінь цього вузла. На прикладі соціальних мереж це буде позначати, що, в середньому, у ваших друзів більше друзів, ніж у вас. Це відомо як парадокс дружби. Можна показати, що мережа може мати гігантську компоненту, якщо її середній надмірний ступень більший за одиницю:

$\sum _{k}kq(k)>1\Rightarrow {\langle k^{2}\rangle }-2{\langle k\rangle }>0$

Майте на увазі, що останні два рівняння виконуються лише для моделі конфігурації, і щоб отримати надмірний розподіл ступенів для реальних мереж, кореляція ступенів повинна бути врахована.

Метод генеруючих функцій

Генеруючі функції можна використовувати для обчислення різних властивостей випадкових мереж. Використовуючи розподіл ступенів та надмірний розподіл ступенів певної мережі, $P(k)$ і $q(k)$ відповідно, можна записати два степеневих ряди у таких формах:

$G_{0}(x)=\textstyle \sum _{k}\displaystyle P(k)x^{k}$ і $G_{1}(x)=\textstyle \sum _{k}\displaystyle q(k)x^{k}=\textstyle \sum _{k}\displaystyle {\frac {k}{\langle k\rangle }}P(k)x^{k-1}$

$G_{1}(x)$ також можна отримати як похідну від $G_{0}(x)$ :

$G_{1}(x)={\frac {G'_{0}(x)}{G'_{0}(1)}}$

Якщо відомо генеруючу функцію для розподілу ймовірностей $P(k)$ то можливо відновити значення $P(k)$ шляхом диференціювання:

$P(k)={\frac {1}{k!}}{\operatorname {d} ^{k}\!G \over \operatorname {d} \!x^{k}}{\biggl \vert }_{x=0}$

Певні властивості, такі як моменти, можуть бути легко обчислені за допомогою ряду $G_{0}(x)$ та його похідних:

• ${\langle k\rangle }=G'_{0}(1)$
• ${\langle k^{2}\rangle }=G''_{0}(1)+G'_{0}(1)$

Та у загальному випадку:

• ${\langle k^{m}\rangle }={\Biggl [}{{\bigg (}\operatorname {x} {\operatorname {d} \! \over \operatorname {dx} \!}{\biggl )}^{m}}G_{0}(x){\Biggl ]}_{x=1}$

Для пуассонівських випадкових мереж, таких як графік ER, $G_{1}(x)=G_{0}(x)$, через це теорія випадкових мереж такого типу є доволі простою. Розподіли ймовірностей для перших найближчих сусідів породжується функцією $G_{0}(x)$ та для других функцією $G_{0}(G_{1}(x))$. У загальному випадку, розподіл для $m$-их найближчих сусідів генерується таким чином:

$G_{0}{\bigl (}G_{1}(...G_{1}(x)...){\bigr )}$, де функція $G_{1}$ діє сама на себе $m-1$ раз.

Середня кількість перших сусідів, $c_{1}$, є ${\langle k\rangle }={dG_{0}(x) \over dx}|_{x=1}$ а середня кількість других сусідів становить: $c_{2}={\biggl [}{d \over dx}G_{0}{\big (}G_{1}(x){\big )}{\biggl ]}_{x=1}=G_{1}'(1)G'_{0}{\big (}G_{1}(1){\big )}=G_{1}'(1)G'_{0}(1)=G''_{0}(1)$

Розподіл ступенів для спрямованих мереж

Вхідний/вихідний розподіл ступенів для графіка гіперпосилання Вікіпедії (логарифмічні шкали)

${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}.$

$\langle {k_{in}-k_{out}}\rangle =\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle (k_{in}-k_{out})P({k_{in},k_{out}})=0$ ,

${\partial {\mathcal {G}} \over \partial x}\vert _{x,y=1}={\partial {\mathcal {G}} \over \partial y}\vert _{x,y=1}=c,$

• $G_{0}^{in}(x)={\mathcal {G}}(x,1)$
• $G_{1}^{in}(x)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial x}\vert _{y=1}$
• $G_{0}^{out}(y)={\mathcal {G}}(1,y)$
• $G_{1}^{out}(y)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial y}\vert _{x=1}$

Розподіл ступенів для знакових мереж

У знакових мережах кожен вузол має додатний ступінь $k_{+}$ і від'ємний ступінь $k_{-}$ які є відповідно додатною кількістю ребер і від’ємною кількістю ребер, з'єднаних з цим вузлом. Таким чином $P(k_{+})$ і $P(k_{-})$ позначають негативний розподіл ступенів та позитивний розподіл ступенів для знакових мереж.

Дивись також

• Теорія графів
• Складна мережа
• Безмасштабна мережа
• Випадковий графік
• Конструкційне обрізання

[[Категорія:Теорія мереж]] [[Категорія:Інваріанти графа]] [[Категорія:Теорія графів]]