Словник термінів теорії графів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тут зібрані визначення термінів із теорії графів. Курсивом позначені посилання на терміни в цьому словнику (на цій сторінці).

Зміст: А Б В Г Ґ Д Е Є Ж З И І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я


А[ред.ред. код]

Б[ред.ред. код]

В[ред.ред. код]

  • Валентність вершини — див. Степінь вершини
  • Вершина, Вузол — базове поняття: точка, де можуть сходитися/розходитися ребра та/або дуги. Множина вершин графа G позначається V(G)
  • Висяча вершина — вершина, степінь якої дорівнює 1 (тобто d(v)=1)
  • Вага ребра — значення, поставлено у відповідність даному ребру зваженого графа. Зазвичай вага — дійсне число, в такому випадку його можна інтерпретувати як «довжину» ребра.
  • Відстань між двома вершинами графа — найменша довжина шляху, що з'єднує ці вершини.
  • Впорядкований граф — граф, в якому ребра, що виходять з кожної вершини, однозначно пронумеровані, починаючи з 1. Ребра вважаються впорядкованими в порядку зростання номерів. При графічному представленні часто ребра вважаються впорядкованими в порядку певного стандартного обходу (наприклад, проти годинникової стрілки).
  • Вузол — те саме, що і Вершина.

Г[ред.ред. код]

  • Гамільтонів граф — граф, в якому є гамільтонів цикл.
  • Гамільтонів шлях — простий шлях в графі, що містить всі вершини графа точно по одному разу.
  • Гамільтонів цикл — простий цикл в графі, що містить всі вершини графа точно по одному разу.
  • Геометрична реалізація — фігура, вершинам якої відповідають вершини графа, ребрам — ребра графа, і ребра у фігурі поєднують вершини, що відповідають вершинам в графі.
  • Геометричний граф — плоска фігура з вершин — точок площини і ребер — ліній, що з'єднують деякі пари вершин. Може зображати багатьма способами будь-який граф.
  • Гіперграф — сукупність із множини вершин і множини гіперребер (підмножина n-го евклідового степеня множини вершин, тобто гіперребра об'єднують довільну кількість вершин).
  • Гомеоморфні графи — графи, отримані з одного графа за допомогою послідовного підрозбиття ребер.
  • Грань — область, обмежена ребрами в плоскому графі, і така, що не містить всередині себе вершин і ребер графа. Зовнішня частина площини також утворює грань.
  • Граф — базове поняття. Містить в собі множину вершин і множину ребер, що являє собою підмножину декартова добутку множини вершин (тобто кожне ребро з'єднує рівно дві вершини).
  • Граф роду g — граф, який можна зобразити без перетинань на поверхні роду g і не можна зобразити без перетинань на жодній поверхні роду g-1.

Д[ред.ред. код]

  • Двоїстий граф. Граф А називається двоїстим до планарного графа В, якщо вершини графа А відповідають граням графа В, і дві вершини графа A з'єднані ребром тоді і тільки тоді, коли відповідні грані графа B мають хоча б одне спільне ребро.
  • Дводольний граф[1] (або біграф, або парний граф) — граф G(V,E), такий що множина вершин V розбита на дві підмножини V_1 і V_2, що не перетинаються, при чому кожне ребро E інцидентне вершині з V_1 і вершині з V_2 (тобто з'єднує вершину з V_1 з вершиною з V_2). Тобто, існує правильне разфарбування графа двома кольорами. Множини V_1 і V_2 називають «долями» дводольного графа. Дводольний граф називается «повним», якщо будь-які дві вершини з V_1 і V_2 виявляться суміжними. Якщо \left|V_1\right| = a, \left|V_2\right| = b, то повний дводольный граф позначається K_{a,b}.
  • Дерево — зв'язний граф, що не містить циклів.
  • Діаметр графа — максимальна відстань між вершинами для всіх пар вершин. Відстань між вершинами — найменша кількість ребер шляху, що з'єднує дві вершини.
  • Довжина маршрута — кількість ребер в маршруті (з повтореннями). Якщо маршрут M=v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,...,e_k,v_k, то довжина M дорівнює k (позначається \left|M\right|=k).
  • Довжина шляху — кількість дуг шляху (або сума довжин його дуг, якщо останні задані). Так для шляху v1, v2, …, vn довжина дорівнює n-1.
  • Доповнення графа — граф над тою самою множиною вершин, що і початковий, але вершини з'єднані ребрами тоді і тільки тоді, коли в початковому графі ребра немає.
  • Дуга — орієнтоване ребро.

Е[ред.ред. код]

  • Ейлерів граф — граф, в якому існує цикл, що містить усі ребра графа по одному разу, вершини можуть повторюватися.
  • Ейлерів ланцюг (або Ейлерів цикл) — ланцюг (цикл), що містить всі ребра графа, вершини можуть повторюватися.
  • Ексцентриситет вершини — максимальна з відстаней від даної вершини до будь-якої іншої вершини.
  • Елементарний шлях — шлях, вершини якого, за виключенням можливо, першої і останньої, різні. Іншими словами, простий шлях не проходить двічі через одну вершину, але може починатися і закінчуватися в тій самій вершині, в такому випадку він називається циклом (елементарним циклом).
  • Елементарним стягуванням називається така процедура: беремо ребро (разом інцидентними йому вершинами вершинами, наприклад, u і v) і «стягуємо» його, тобто видаляємо ребро і ототожнюємо вершини u і v. Утворена вершина інцидентна ребрам, яким початково були інцидентні u або v крім видаленого.

З[ред.ред. код]

І[ред.ред. код]

  • Ізольована вершина — вершина, степінь якої дорівнює 0 (тобто не існують ребра інцидентні до неї).
  • Ізоморфізм. Два графи називаються ізоморфними, якщо існує перестановка вершин, при якій вони збігаються. Іншими словами, два графи називаються ізоморфними, якщо існує взаємооднозначна відповідність між їх вершинами і ребрами, така що зберігається суміжність та інцидентність.
  • Індекс доступності вершини (K) — Ki = (ΣL)i / (ΣL)min, де ΣL — сума найкоротших віддалей вершини.
  • Інтервальний граф — граф, вершини якого можуть бути поставлені у відповідність відрізкам на дійсній осі таким чином, що дві вершини інцидентні одному ребру тоді і тільки тоді, коли відрізки, що відповідають цим вершинам, перетинаються.
  • Інцидентність — поняття, що використовується тільки для ребра і вершини: якщо v_1, v_2 — вершини, а e=(v_1,v_2) — ребро, що їх з'єднує, тоді вершина v_1 і ребро e інцидентні, вершина v_2 і ребро e також інцидентні. Дві вершини (або два ребра) інцидентними бути не можуть. Для позначення найближчих вершин (ребер) використовується поняття суміжності.

К[ред.ред. код]

  • Каркасний підграф — підграф, що містить всі вершини[Джерело?].
  • Кістякове (каркасне) дерево зв'язного графа G=(V,E) це таке дерево T=(V,ET), що ET ⊆ E[2].
  • Кістяковим (каркасним) лісом незв'язного графа G=(V,E) називають сукупність кістякових (каркасних) дерев компонент зв'язності графа G[2].
  • Кліка — підмножина вершин графа, повністю з'єднаних кожна з кожною, тобто підграф, що являє собою повний граф.
    • Клікове число(Clique number) — число (G) вершин в найбільший кліці. Інші назви — густота, щільність.
    • Максимальна кліка — кліка з максимально можливою кількістю вершин графу.
  • Клітка — регулярний граф найменшого обхвату для заданого степеня вершин.
  • Компонента зв'язності графа — деяка підмножина вершин графа така, що для будь-яких двох вершин із цієї множини існує шлях із однієї в іншу, і не існує шляха з вершини цієї множини в вершину не з цієї множини.
  • Компонента сильної зв'язності графа, шар — максимальна множина вершин орієнтованого графа така, що для будь-яких двох вершин із цієї підмножини існує шлях як із першої в другу, так і навпаки.
  • Конструктивний перерахунок графів — отримання повного списку графів у заданому класі.
  • Контур — замкнутий шлях в орграфі.
  • Коцикл — мінімальний розріз, мінімальна множина ребер, видалення якої робить граф незв'язним.
  • Кратні ребра — декілька ребер, інцидентних одній і тій самій парі вершин. Зустрічаються в мультиграфах.
  • Кубічний граф — регулярний граф степеня 3, тобто граф, в якому кожній вершині інцидентні рівно три ребра.
  • k-дольний граф — граф G, у якого хроматичне число c(G)=k

Л[ред.ред. код]

  • Лама́нів граф з n вершинами — такий граф G, що, по-перше, для кожного k будь-який підграф графа G, що містить k вершин, має не більше, ніж 2k −3 ребра і, по-друге, граф G має рівно 2n −3 ребра.
  • Ліс — неорієнтований граф без циклів. Компонентами зв'язності лісу є дерева.
  • Ланцюг в графі — маршрут, всі ребра якого різні. Якщо всі вершини (а таким чином і ребра) різні, то такий ланцюг називається простим (елементарним). В ланцюзі v_0, e_1, ... , e_k, v_k вершини v_0 і v_k називаються кінцями ланцюга. Ланцюг із кінцями u і v з'єднує вершини u і v. Ланцюг, що з'єднує вершини u і v позначається \left\langle u,v\right\rangle. Для орграфів ланцюг називається орланцюгом. В деяких джерелах простий ланцюг — ланцюг, ребра якого різні, що є слабкою умовою.

М[ред.ред. код]

  • Маршрут (теорія графів)[3] в графі — послідовність вершин і ребер v_0, e_1, v_1, e_2, v_2, ... , e_k, v_k, що чергуються, в якій будь-які два сусідні елемента інцидентні. Якщо v_0=v_k, то маршрут замкнений, інакше відкритий.
  • Матриця досяжності орграфа — матриця, що містить інформацію про існування шляхів між вершинами орграфа.
  • Матриця інцидентності графа — матриця, значення елементів якої характеризуються інцидентністю відповідних вершин графа (по вертикалі) та його ребер (по горизонталі). Для неорієнтованого графа елемент приймає значення 1, якщо вершина і ребро, що відповідають йому, інцидентні. Для орієнтованого графа елемент приймає значення 1, якщо інцидентна вершина є початок ребра, значення -1, якщо кінець; в інших випадках (в тому числі і для петель) значенню елемента присвоюється 0.
  • Матриця суміжності графа — матриця, значення елементів якої характеризується суміжністю вершин графа. При цьому, значенню елемента матриці присвоюється кількість ребер, які з'єднують відповідні вершини (тобто які інцидентні обом вершинам). Петля вважається одразу двома з'єднаннями для вершини, тобто до значення елемента матриці в такому випадку треба додавати 2.
  • Мережа — в принципі, те саме що і граф, хоча мережами зазвичай називають графи, вершини яких визначеним способом позначені.
  • Мінімальний каркас (або Каркас мінімальної ваги, Мінімальне остове дерево) графа — ациклічна множина ребер в зв'язному, зваженому і неорієнтованому графі, що з'єднує між собою всі вершини даного графа, при цьому сума ваг всіх ребер в ньому мінімальна.
  • Міст — ребро, видалення якої збільшує кількість компонент зв'язності. Рівнозначне визначення, ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли вони не є частиною будь-якого циклу.
  • Множина домінування — така множина вершин графа, що кожна вершина графа або належить їй, або суміжна деякій вершині, що належить множині домінування.
  • Множина суміжності вершини v — множина вершин, суміжних із вершиною v. Позначається \Gamma^+(v)
  • Мультиграф — граф, в якому існує пара вершин, що з'єднана більш ніж одним ребром (ненаправленим), або більше ніж двома дугами протилежних напрямків.

Н[ред.ред. код]

  • Напівстепінь входу в орграфі для вершини v — кількість дуг, що входять в вершину. Позначається d^+(v).
  • Напівстепінь виходу в орграфі для вершини v — кількість дуг, що виходять з вершини. Позначається d^-(v).
  • Направлений граф — орієнтований граф, в якому дві вершини з'єднуються не більше ніж однією дугою.
  • Незалежна множина вершин — (відома також як внутрішня стала множина) множина вершин графа G, така, що будь-які дві вершини в ній не суміжні (жодна пара вершин не з'єднана ребром).
    • Незалежна множина називається максимальною по включенню, коли немає іншої незалежної множини, в яку вона б входила.
    • Максимально незалежною множиною називається незалежна множина з найбільшою кількістю вершин. Іншими словами, якщо Q є родиною всіх незалежних множин графа G, то число a(G) = max |S| (де S належить Q) називається числом незалежності графа G, а множина S*, на якій цей максимум досягається, називається найбільшою незалежною множиною або максимальною незалежною множиною.
  • Незалежна множина ребер — множина ребер графа G, така, що будь-які два ребра в ній не суміжні (жодна пара ребер не має спільної вершини).
  • Нормований граф — орієнтований граф без циклів.
  • Нуль-граф (цілком незв'язний граф, порожній граф) — регулярний граф степеня 0, тобто граф, що не містить ребер.

О[ред.ред. код]

  • Обхват — довжина найменшого циклу в графі.
  • Оточення — довжина найбільшого простого циклу в графі.
  • Орграф, орієнтований граф G = (V,E) пара множин, в якій V — множина вершин (вузлів), E — множина дуг (орієнтованих ребер). Дуга — впорядкована пара вершин (v, w), в якій вершину v називають початком, а w — кінцем дуги. Можна сказати, що дуга v → w веде від вершини v до вершини w, при цьому вершина w суміжна з вершиною v.

П[ред.ред. код]

  • Парний граф — те саме, що і дводольний граф.
  • Петля — ребро, початок і кінець якого знаходяться в одній і тій самій вершині.
  • Перетин графів (позначених графів G_1=(X_1, U_1) і G_2=(X_2, U_2)) — граф G_1 \cap G_2, множина вершин якого є X_1 \cap X_2, а множина ребер — U=U_1 \cap U_2.
  • Перерахунок графів — підрахунок числа неізоморфних графів в заданому класі (із заданими характеристиками).
  • Переріз графа — множина ребер, видалення яких ділить граф на два ізольованих підграфа, один з яких, зокрема, може бути тривіальним графом.
  • Підграф початкового графа — граф, що містить деяку підмножину вершин даного графа і всі ребра, інцидентні даній підмножині.
  • Планарний граф — граф, що може бути намальований (укладений) на площині без перетину ребер. Ізоморфний плоскому графу, тобто, є графом із перетинаннями, але таким, що допускає плоску укладку, через це може відрізнятися від плоского графа зображенням на площині. Таким чином, може бути різниця між плоским і планарним графом у зображенні на площині.
  • Плоский граф — геометричний граф, в якому жодні два ребра не мають спільних точок крім інцидентним їм обом вершинам (не перетинаються). Є укладеним графом на площині.
  • Повним графом називається граф, в якому для кожної пари вершин v_1, v_2, існує ребро, інцидентне v_1 і інцидентне v_2 (кожна вершина з'єднана ребром з будь-якою іншою вершиною).
  • Повним дводольним називаєтся дводольний граф, в якому кожна вершина одної підмножини з'єднана ребром з кожною вершиною іншої підмножини.
  • Породжений підграф — підграф, породжений множиною вершин похідного графа.
  • Правильне розфарбування графа — розфарбування, при якому кожний кольоровий клас є незалежною множиною. Інекше кажучи, в правильній розфарбовці будь-які дві суміжні вершини повинні мати різні кольори.
  • Простий ланцюг — маршрут, в якому всі вершини різні.
  • Простий граф — граф, в якому немає кратних ребер і петель.
    • Простий цикл — цикл, що не проходить двічі через одну вершину.
  • Псевдограф — граф, що містить петлі.
  • Порожній граф — див. нуль-граф.

Р[ред.ред. код]

  • Радіус графа — мінімальний з ексцентриситетів вершин зв'язаного графа; вершина, на якій досягається цей мінімум називається центральною вершиною.
  • Ребро графа (дуга графа) — базове поняття. Ребро з'єднує дві вершини графа.
  • Регулярний граф — граф, степені всіх вершин якого рівні. Степінь регулярності є інваріантом графа і позначається r(G). Для нерегулярних графів r(G) не визначено. Регулярні графи являють собою особливу складність для багатьох алгоритмів.
    • Регулярний граф степеня 0 (цілком незв'язний граф, порожній граф, нуль-граф) — граф без ребер.
  • Розгортка графа — функція, що задана на вершинах орієнтовного графа.
  • Розмічений граф — граф, для якого задана множина позначок S, функція розмітки вершин f : A → S і функція розмітки дуг g : R → S. Графічно ці функції представляються надписуванням позначок на вершинах і дугах. Множина позначок може поділятися на дві підмножини позначок вершин і дуг, що не перетинаються.
  • Розріз — множина ребер, видалення якої робить граф незв'язним.
  • Розфарбування графа — розбиття вершин на множини, що називаються пелюстками. Якщо при цьому немає двох суміжних вершин, що належать до одної множини (тобто всі суміжні вершини завжди різного кольору), то таке розфарбування називається правильним.

С[ред.ред. код]

  • Самодвоїстий граф — граф, ізоморфний своєму двоїстому графу.
  • Сильна зв'язність. Дві вершини в орграфі сильно зв'язані, якщо існує шлях з однієї в другу і назад.
    • Сильно зв'язаний орграф — орграф, в якому всі вершини сильно зв'язані.
  • Спектр графа — множина всіх власних значень матриці суміжності з урахуванням кратних ребер.
  • Степінь вершини — кількість ребер графа G, що інцидентні вершині x. Позначається d(x). Мінімальний степінь вершини графа G позначається \delta(G). а максимальний — \Delta(G).
  • Стягування ребра графа — заміна кінців ребра однією вершиною, сусідами нової вершини стають сусіди цих кінців. Граф G_1 можна стягнути до G_2, якщо другий можна отримати послідовним стягуванням ребер першого.
  • Суграф (частковий граф) початкового графа — граф, що містить всі вершини початкового графа і підмножину його ребер.
  • Суміжність — поняття, яке використовується по відношенню тільки до двох ребер або двох вершин: Два ребра, інцидентні одній вершині, називаються суміжними; дві вершини, інцидентні одному ребру, також називаються суміжними.

Т[ред.ред. код]

У[ред.ред. код]

Ф[ред.ред. код]

  • n-фактор графа — регулярний остовний підграф ступені n.
  • n-факторизація графа — розбиття графа на незалежні n-фактори.

Х[ред.ред. код]

  • Хроматичне число графа — мінімальна кількість кольорів, що необхідна для розфарбування вершин графа, при якому будь-які суміжні вершини розфарбовані в різні кольори.
  • Хроматичний індекс графа — мінімальна кількість кольорів, що необхідна для розфарбування ребер графа, при якому будь-які суміжні ребра розфарбовані в різні кольори.

Ц[ред.ред. код]

Ч[ред.ред. код]

Ш[ред.ред. код]

  • Шлях — див. маршрут. Шлях, в якому будь-яка вершина не зустрічається двічі, називається елементарним.
  • Шлях в орграфі — послідовність вершин v1, v2, …, vn, для якої існують дуги v1 → v2, v2 → v3, …, vn-1 → vn. Кажуть, що шлях починається у вершині v1, проходить через вершини v2, v3, …, vn-1, і закінчується у вершині vn.


Примітки[ред.ред. код]

  1. Ю. Нікольский, В. Пасічник, Ю. Щербина Дискретна математика. — К: BHV, 2007. — С. 368. — ISBN 978-966-552-201-0.
  2. а б Р.М. Трохимчук Теорія графів. — Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики. — К: РВЦ «Київський університет», 1998. — С. 24. — ISBN 966-594-043-0.
  3. В різних джерелах надають різні визначення маршруту, шляху, ланцюга, їх простоти та елементарності.

Посилання[ред.ред. код]