Обчислювальна математика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Видається за доцільне, щоб цю статтю було об'єднано з Чисельні методи, але, можливо, варто це додатково обговорити

Обчи́слювальна матема́тика — розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з виконанням обчислень і використанням комп'ютерів. У більш вузькому розумінні, обчислювальна математика — теорія чисельних методів розв’язування типових математичних задач.

До задач обчислювальної математики відносять:

• розв’язування систем лінійних рівнянь
• знаходження власних значень і векторів матриці
• знаходження сингулярних значень і векторів матриці

• розв’язування нелінійних алгебраїчних рівнянь
• розв’язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
• розв’язування диференціальних рівнянь (як звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними )
• розв’язування систем диференціальних рівнянь
• розв’язування інтегральних рівнянь

• задачі апроксимації
• задачі інтерполяції
• задачі екстраполяції

Основна відмінність обчислювальної математики полягає в тому, що при розв’язуванні обчислювальних задач людина оперує машинними числами, що є дискретною проекцією дійсних чисел на конкретну архітектуру комп'ютера. Так, наприклад, якщо взяти машинне число довжиною в 8 байт, то в ньому можна запам'ятати тільки 2⁶⁴ різних чисел, тому важливу роль в обчислювальній математиці відіграють оцінки точності алгоритмів і їхня стійкість до представлень машинних чисел у комп'ютері. Саме тому, наприклад, для розв’язування лінійної системи алгебричних рівнянь дуже рідко використовується обчислення оберненої матриці, тому що цей метод може привести до помилкового розв’язування у випадку з сингулярною матрицею, а дуже розповсюджений у лінійній алгебрі метод заснований на обчисленні визначника матриці і її доповнення вимагає набагато більше арифметичних операцій, ніж будь-який стійкий метод розв’язування лінійної системи рівнянь.